(a) The transverse vibrations of a stretched string can be approximated by a discrete system consisting of equally spaced mass points located on a weightless string. Show that if the spacing is allowed to go to zero, the Lagrangian approaches the limit
for the continuous string, where
is the fixed tension. What is the equation of motion if the density
is a function of position?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as vibrações transversais de uma corda esticada, que a gente pode modelar como um sistema discreto de pontos de massa igualmente espaçados numa corda sem massa. A ideia é mostrar que, quando o espaçamento entre esses pontos vai para zero, o Lagrangiano do sistema discreto se aproxima de um Lagrangiano contínuo dado pela integral. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente o Lagrangiano, além de entender a transição de sistemas discretos para contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Lagrangiano. Em mecânica, o Lagrangiano
é dado pela diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
do sistema:
No nosso caso, temos uma corda com pontos de massa
espaçados por um intervalo
, onde
tende a zero. A massa linear da corda é
.
Passo 3
A energia cinética total do sistema discreto é a soma das energias cinéticas de cada ponto de massa. Se
é o deslocamento vertical do i-ésimo ponto em função do tempo, a energia cinética é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, a energia potencial devido à tensão
na corda. Para pequenas deslocamentos, a energia potencial é relacionada à extensão da corda:
Isso porque a energia potencial depende do quadrado do gradiente do deslocamento.
Passo 5
O Lagrangiano do sistema discreto fica então:
Passo 6
Agora, vamos passar para a forma contínua. Quando
, a soma se aproxima de uma integral. Substituindo as somas por integrais, temos:
Ou seja:
Passo 7
Agora, para encontrar a equação de movimento quando a densidade
depende da posição
, usamos as equações de Euler-Lagrange. A equação geral é:
Passo 8
Calculando as derivadas parciais:
E:
Passo 9
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Rearranjando:
Resposta
A equação de movimento, quando a densidade
depende da posição, é dada por:
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