(a) The transverse vibrations of a stretched string can be approximated by a discrete system consisting of equally spaced mass points located on a weightless string. Show that if the spacing is allowed to go to zero, the Lagrangian approaches the limit
L=12 integral[mu doteta^2-T(partial etapartial x)^2] d x
for the continuous string, where T is the fixed tension. What is the equation of motion if the density mu is a function of position?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as vibrações transversais de uma corda esticada, que a gente pode modelar como um sistema discreto de pontos de massa igualmente espaçados numa corda sem massa. A ideia é mostrar que, quando o espaçamento entre esses pontos vai para zero, o Lagrangiano do sistema discreto se aproxima de um Lagrangiano contínuo dado pela integral. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente o Lagrangiano, além de entender a transição de sistemas discretos para contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Lagrangiano. Em mecânica, o Lagrangiano L = T - V é dado pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema:
No nosso caso, temos uma corda com pontos de massa espaçados por um intervalo , onde tende a zero. A massa linear da corda é .

Passo 3

A energia cinética total do sistema discreto é a soma das energias cinéticas de cada ponto de massa. Se T = sum 12 m ( d etaidt )^2 é o deslocamento vertical do i-ésimo ponto em função do tempo, a energia cinética é:
T = sum 12 mu De
Substituindo :

Passo 4

Agora, a energia potencial devido à tensão V = sum 12 T ( etai+1 - etaiDe na corda. Para pequenas deslocamentos, a energia potencial é relacionada à extensão da corda:
Isso porque a energia potencial depende do quadrado do gradiente do deslocamento.

Passo 5

O Lagrangiano do sistema discreto fica então:
L = T - V = sum 12 mu De

Passo 6

Agora, vamos passar para a forma contínua. Quando L = 12 integral mu doteta^2 , dx - 12 integral T ( partial etapartial x )^2 dx , a soma se aproxima de uma integral. Substituindo as somas por integrais, temos:
L = 12 integral [ mu doteta^2 - T ( partial etapartial x )^2 ] dx
Ou seja:

Passo 7

Agora, para encontrar a equação de movimento quando a densidade ddt ( partial Lpartial doteta ) - partial Lpartial eta = 0 depende da posição , usamos as equações de Euler-Lagrange. A equação geral é:

Passo 8

Calculando as derivadas parciais:
partial Lpartial doteta = mu doteta
ddt ( mu doteta ) = mu ddoteta + dotmu doteta
E:
partial Lpartial eta = -T partial^2 etapartial x^2

Passo 9

Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
mu ddoteta + dotmu doteta + T partial^2 etapartial x^2 = 0
Rearranjando:
mu ddoteta + T partial^2 etapartial x^2 = -dotmu doteta

Resposta

A equação de movimento, quando a densidade mu(x) ddoteta + T partial^2 etapartial x^2 = -dmudt doteta depende da posição, é dada por:

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