Three identical particles are in a one-dimensional harmonic oscillator potential well with classical angular frequency omega.
a. Write the complete time-independent Hamiltonian for this system, and express it in coordinate space as a differential equation whose solution is the three-body wave function Psi(x1, x2, x3).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três partículas idênticas presas em um potencial de oscilador harmônico unidimensional com frequência angular clássica omega. Precisamos escrever o Hamiltoniano completo independente do tempo para esse sistema e expressá-lo no espaço de coordenadas como uma equação diferencial que descreve a função de onda de três corpos Psi(x1, x2, x3). Para isso, vamos lembrar dos conceitos de energia cinética e potencial no contexto de osciladores harmônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Hamiltoniano H representa a energia total do sistema, que é a soma da energia cinética ( T) e da energia potencial ( V). Para uma única partícula em um oscilador harmônico unidimensional, o Hamiltoniano é dado por:
H = p^22m + 12 m omega^2 x^2
Aqui, p é o operador momento, m é a massa da partícula, omega é a frequência angular, e x é a posição da partícula.

Passo 3

Como temos três partículas idênticas, o Hamiltoniano total do sistema será a soma dos Hamiltonianos de cada partícula. Assim, para três partículas, o Hamiltoniano fica:
H = sumi=1^3 ( pi^22m + 12 m omega^2 xi^2 )
Onde pi e xi são o momento e a posição da i-ésima partícula, respectivamente.

Passo 4

Agora, para expressar o Hamiltoniano no espaço de coordenadas, substituímos o operador momento pi pela representação em coordenadas, que é -ihbar partialpartial xi. Assim, o Hamiltoniano se torna:
H = -hbar^22m sumi=1^3 partial^2partial xi^2 + 12 m omega^2 sumi=1^3 xi^2

Resposta

O Hamiltoniano completo independente do tempo para o sistema é:
H = -hbar^22m ( partial^2partial x1^2 + partial^2partial x2^2 + partial^2partial x3^2 ) + 12 m omega^2 ( x1^2 + x2^2 + x3^2 )
E a equação diferencial no espaço de coordenadas para a função de onda de três corpos é:
H Psi(x1, x2, x3) = E Psi(x1, x2, x3)

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