Three identical particles are in a one-dimensional harmonic oscillator potential well with classical angular frequency
.
a. Write the complete time-independent Hamiltonian for this system, and express it in coordinate space as a differential equation whose solution is the three-body wave function
.
a. Write the complete time-independent Hamiltonian for this system, and express it in coordinate space as a differential equation whose solution is the three-body wave function
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três partículas idênticas presas em um potencial de oscilador harmônico unidimensional com frequência angular clássica
. Precisamos escrever o Hamiltoniano completo independente do tempo para esse sistema e expressá-lo no espaço de coordenadas como uma equação diferencial que descreve a função de onda de três corpos
. Para isso, vamos lembrar dos conceitos de energia cinética e potencial no contexto de osciladores harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Hamiltoniano
representa a energia total do sistema, que é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
). Para uma única partícula em um oscilador harmônico unidimensional, o Hamiltoniano é dado por:
Aqui,
é o operador momento,
é a massa da partícula,
é a frequência angular, e
é a posição da partícula.
Passo 3
Como temos três partículas idênticas, o Hamiltoniano total do sistema será a soma dos Hamiltonianos de cada partícula. Assim, para três partículas, o Hamiltoniano fica:
Onde
e
são o momento e a posição da
-ésima partícula, respectivamente.
Passo 4
Agora, para expressar o Hamiltoniano no espaço de coordenadas, substituímos o operador momento
pela representação em coordenadas, que é
. Assim, o Hamiltoniano se torna:
Resposta
O Hamiltoniano completo independente do tempo para o sistema é:
E a equação diferencial no espaço de coordenadas para a função de onda de três corpos é: