Three identical particles are in a one-dimensional harmonic oscillator potential well with classical angular frequency
.
b. Assume the particles have zero spin. Use the single-particle wave functions to construct the ground-state wave function
, and show that it satisfies the differential equation in (a), and find the ground-state energy.
b. Assume the particles have zero spin. Use the single-particle wave functions to construct the ground-state wave function
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três partículas idênticas que estão em um potencial harmônico unidimensional com frequência angular clássica
. A gente precisa construir a função de onda do estado fundamental
usando as funções de onda de uma partícula e, depois, mostrar que ela satisfaz uma certa equação diferencial e encontrar a energia do estado fundamental.
Para isso, vamos precisar entender sobre funções de onda de partículas em um oscilador harmônico e como combinar essas funções para múltiplas partículas idênticas. Como as partículas têm spin zero, elas são bósons, então a função de onda total deve ser simétrica em relação à troca das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda para o estado fundamental de uma partícula em um oscilador harmônico unidimensional. A função de onda estática é dada por:
Aqui:
-
é a massa da partícula, -
é a frequência angular do oscilador, -
é a constante de Planck reduzida, -
é a posição da partícula.
Essa função de onda descreve o estado de menor energia possível para uma partícula nesse potencial.
Passo 3
Como temos três partículas idênticas e sem spin, a função de onda total deve ser simétrica em relação à troca de qualquer par de partículas. A maneira mais simples de fazer isso é multiplicar as funções de onda individuais de cada partícula. Assim, a função de onda do estado fundamental para as três partículas é:
Isso garante que, se trocarmos as coordenadas de qualquer par de partículas, a função de onda permanece a mesma, cumprindo assim a simetria exigida para bósons.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa função de onda total satisfaz a equação diferencial que descreve o sistema. A equação de Schrödinger para três partículas em um potencial harmônico é:
Substituindo
na equação, cada termo de derivada aplicada a
vai trazer de volta a própria
multiplicada pela energia do estado fundamental de uma partícula.
Passo 5
Para cada partícula, sabemos que:
Como temos três partículas independentes, a energia total é a soma das energias individuais. Assim:
Resposta
A energia do estado fundamental é
.