Three identical particles are in a one-dimensional harmonic oscillator potential well with classical angular frequency omega.
b. Assume the particles have zero spin. Use the single-particle wave functions to construct the ground-state wave function Psi0(x1, x2, x3), and show that it satisfies the differential equation in (a), and find the ground-state energy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três partículas idênticas que estão em um potencial harmônico unidimensional com frequência angular clássica omega. A gente precisa construir a função de onda do estado fundamental Psi0(x1, x2, x3) usando as funções de onda de uma partícula e, depois, mostrar que ela satisfaz uma certa equação diferencial e encontrar a energia do estado fundamental.
Para isso, vamos precisar entender sobre funções de onda de partículas em um oscilador harmônico e como combinar essas funções para múltiplas partículas idênticas. Como as partículas têm spin zero, elas são bósons, então a função de onda total deve ser simétrica em relação à troca das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda para o estado fundamental de uma partícula em um oscilador harmônico unidimensional. A função de onda estática é dada por:
psi0(x) = (momegapi hbar)^1/4 e^-momega x^22hbar
Aqui:
  • m é a massa da partícula,
  • omega é a frequência angular do oscilador,
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • x é a posição da partícula.
Essa função de onda descreve o estado de menor energia possível para uma partícula nesse potencial.

Passo 3

Como temos três partículas idênticas e sem spin, a função de onda total deve ser simétrica em relação à troca de qualquer par de partículas. A maneira mais simples de fazer isso é multiplicar as funções de onda individuais de cada partícula. Assim, a função de onda do estado fundamental para as três partículas é:
Psi0(x1, x2, x3) = psi0(x1) cdot psi0(x2) cdot psi0(x3)
Isso garante que, se trocarmos as coordenadas de qualquer par de partículas, a função de onda permanece a mesma, cumprindo assim a simetria exigida para bósons.

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa função de onda total satisfaz a equação diferencial que descreve o sistema. A equação de Schrödinger para três partículas em um potencial harmônico é:
[-hbar^22m (partial^2partial x1^2 + partial^2partial x2^2 + partial^2partial x3^2) + 12 m omega^2 (x1^2 + x2^2 + x3^2)] Psi0(x1, x2, x3) = E Psi0(x1, x2, x3)
Substituindo Psi0 na equação, cada termo de derivada aplicada a psi0(xi) vai trazer de volta a própria psi0(xi) multiplicada pela energia do estado fundamental de uma partícula.

Passo 5

Para cada partícula, sabemos que:
[-hbar^22m d^2dx^2 + 12 m omega^2 x^2] psi0(x) = 12 hbar omega psi0(x)
Como temos três partículas independentes, a energia total é a soma das energias individuais. Assim:
E = 3 times 12 hbar omega = 32 hbar omega

Resposta

A energia do estado fundamental é E = 32 hbar omega.

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