a. N identical spin 12 particles are subjected to a one-dimensional simple harmonic oscillator potential. Ignore any mutual interactions between the particles. What is the ground-state energy? What is the Fermi energy?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos $ N $ partículas idênticas com spin $ \frac{1}{2} $ que estão em um potencial oscilador harmônico unidimensional. Queremos descobrir duas coisas:
  1. A energia do estado fundamental do sistema.
  2. A energia de Fermi.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Oscilador Harmônico Quântico: Modelo que descreve partículas sujeitas a um potencial elástico.
  • Princípio de Exclusão de Pauli: Como partículas com spin $ \frac{1}{2} $ (férmions) não podem ocupar o mesmo estado quântico.
  • Energia de Fermi: A energia mais alta ocupada por uma partícula no zero absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são os níveis de energia para um oscilador harmônico quântico unidimensional. A energia dos estados é dada por:
En = hbar omega ( n + 12 )
onde:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
  • $ \omega $ é a frequência angular do oscilador,
  • $ n = 0, 1, 2, \dots $ são os números quânticos dos níveis de energia.

Passo 3

Como temos $ N $ partículas idênticas com spin $ \frac{1}{2} $, cada nível de energia pode acomodar no máximo 2 partículas (uma com spin para cima e outra com spin para baixo), devido ao Princípio de Exclusão de Pauli. Isso significa que para cada $ n $, temos 2 estados possíveis.

Passo 4

Para encontrar a energia do estado fundamental do sistema, precisamos preencher os níveis de energia começando do menor, até acomodar todas as $ N $ partículas. Vamos chamar de $ n_{max} $ o maior número quântico ocupado.
Como cada nível pode ter 2 partículas, o número total de partículas é:
N
Resolvendo para $ n_{max} $:
nmax
Assumindo que $ N $ é par para simplificar.

Passo 5

A energia total do estado fundamental é a soma das energias de todas as partículas nos níveis ocupados:
Etotal = sumn=0^nmax 2 cdot En = 2 sumn=0^nmax hbar omega ( n + 12 )
Simplificando:
Etotal = 2 hbar omega ( sumn=0^nmax n + sumn=0^nmax 12 )

Passo 6

Calculando as somas:
sumn=0^nmax n = nmax(nmax + 1)2
sumn=0^nmax 12 = nmax + 12
Substituindo de volta:
Etotal = 2 hbar omega ( nmax(nmax + 1)2 + nmax + 12 )
Etotal = 2 hbar omega cdot (nmax + 1)(nmax + 1)2
Etotal = hbar omega (nmax + 1)^2

Passo 7

Substituindo $ n_{max} = \frac{N}{2} - 1 $:
nmax = N2 - 1
Etotal = hbar omega ( N2 - 1 + 1 )^2 = hbar omega ( N2 )^2
Essa é a energia do estado fundamental.

Passo 8

Agora, para encontrar a energia de Fermi, que é a energia da partícula mais energética no estado fundamental, olhamos para o nível de energia máximo ocupado:
EFermi = Enmax = hbar omega ( N2 - 1 + 12 ) = hbar omega ( N2 - 12 )
EFermi = hbar omega ( N - 12 )

Resposta

A energia do estado fundamental é $ E_{total} = \frac{N^2}{4} \hbar \omega $ e a energia de Fermi é $ E_{Fermi} = \frac{(N - 1)}{2} \hbar \omega $.

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