Em um time, existem 10 jogadores de futebol de salão, entre eles João, que por sinal é o único que joga como goleiro. Nessas condições, quantos times de 5 pessoas podem ser escalados?

Passo 1

Vamos entender o problema: Temos um time com 10 jogadores de futebol de salão, incluindo o João, que é o único goleiro. Queremos saber de quantas maneiras podemos escalar um time de 5 pessoas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Combinação da matemática, que nos ajuda a calcular de quantas formas podemos selecionar um grupo de indivíduos a partir de um conjunto maior, sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, como João é o único goleiro, ele precisa obrigatoriamente estar no time para ocupar essa posição. Isso significa que, ao formar um time de 5 jogadores, já temos 1 vaga ocupada por João.

Passo 3

Com João no time, precisamos selecionar mais 4 jogadores dentre os 9 restantes (já que já incluímos João). Aqui, usamos a fórmula de combinação, que é dada por:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde:
  • é o número total de elementos para escolher (no nosso caso, 9 jogadores),
  • é o número de elementos que queremos selecionar (4 jogadores).

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
C(9, 4) = 9!4!(9 - 4)! = 9!4! cdot 5!

Passo 5

Vamos calcular os fatoriais:
9! = 362880
4! = 24
5! = 120
Substituindo na fórmula:
C(9, 4) = 36288024 cdot 120 = 3628802880 = 126

Resposta

Podemos escalar 126 times diferentes de 5 pessoas.

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