1. Uma urna tem 20 bolas pretas e 30 bolas brancas. Retiram-se 25 bolas com reposição. Qual a probabilidade de que:
    a) 2 sejam pretas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma urna com 20 bolas pretas e 30 bolas brancas, totalizando 50 bolas. Vamos retirar 25 bolas com reposição. Queremos saber qual a probabilidade de que exatamente 2 dessas retiradas sejam bolas pretas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade binomial.

Passo 2

Em experimentos com reposição, cada retirada é independente das anteriores. A probabilidade de retirar uma bola preta em uma única tentativa é:
p = 2050 = 0.4
E a probabilidade de retirar uma bola branca é:
q = 1 - p = 0.6

Passo 3

Como queremos exatamente 2 bolas pretas em 25 retiradas, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial:
P(k) = binomnk times p^k times q^n-k
Onde:
  • n = 25 é o número de retiradas,
  • k = 2 é o número de bolas pretas desejadas,
  • p = 0.4,
  • q = 0.6.

Passo 4

Primeiro, calculamos o coeficiente binomial binom252, que representa o número de maneiras de escolher 2 bolas pretas em 25 retiradas:
binom252 = 25!2!(25-2)! = 25 times 242 times 1 = 300

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(2) = 300 times (0.4)^2 times (0.6)^23
Calculando passo a passo:
  1. (0.4)^2 = 0.16
  2. (0.6)^23 approx 7.88 times 10^-6
Multiplicando tudo:
P(2) = 300 times 0.16 times 7.88 times 10^-6 approx 0.000378

Resposta

A probabilidade de retirar exatamente 2 bolas pretas em 25 retiradas com reposição é aproximadamente 0.0378%.

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