Seja V=R^3 e W o subespaço gerado por (1,0,1) e (1,1,0).
Encontre uma base para W^perp considerando V com o produto interno
lang<=(x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime)rang<==2 x x^prime+y y^prime+z z^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço lang<=(x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime)rang<==2 x x^prime+y y^prime+z z^prime e um subespaço gerado pelos vetores e . O que precisamos encontrar é uma base para o complemento ortogonal de , ou seja, . Para isso, vamos usar o produto interno definido por
Vamos precisar entender o que significa um vetor estar em e resolver algumas equações para achar esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que lang<= v, (1, 0, 1) rang<= = 0 e lang<= v, (1, 1, 0) rang<= = 0 é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Como é gerado por e , qualquer vetor em deve satisfazer:
Então, vamos montar essas duas equações usando o produto interno dado.

Passo 3

Vamos calcular cada produto interno:
  1. Para lang<= (a, b, c), (1, 0, 1) rang<= = 2a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 = 2a + c = 0 :
lang<= (a, b, c), (1, 1, 0) rang<= = 2a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 2a + b = 0
  1. Para 2a + c = 0 2a + b = 0 :
Agora, temos um sistema de equações para resolver:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar b = -2a em função de c = -2a :
v = (a, -2a, -2a) = a cdot (1, -2, -2)
Da primeira equação, expressamos em função de :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que todo vetor em é um múltiplo escalar de .

Resposta

Uma base para é .

Exercícios relacionados