Seja
e
o subespaço gerado por
e
.
Encontre uma base para
considerando
com o produto interno
Encontre uma base para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço
e um subespaço
gerado pelos vetores
e
. O que precisamos encontrar é uma base para o complemento ortogonal de
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o produto interno definido por
Vamos precisar entender o que significa um vetor estar em
e resolver algumas equações para achar esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores em
. Como
é gerado por
e
, qualquer vetor
em
deve satisfazer:
Então, vamos montar essas duas equações usando o produto interno dado.
Passo 3
Vamos calcular cada produto interno:
- Para
:
- Para
:
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar
em função de
:
Da primeira equação, expressamos
em função de
:
Então, qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
Isso mostra que todo vetor em
é um múltiplo escalar de
.
Resposta
Uma base para
é
.