Seja e o subespaço gerado por e .
Encontre uma base para considerando com o produto interno

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço e um subespaço gerado pelos vetores e . O que precisamos encontrar é uma base para o complemento ortogonal de , ou seja, . Para isso, vamos usar o produto interno definido por
Vamos precisar entender o que significa um vetor estar em e resolver algumas equações para achar esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Como é gerado por e , qualquer vetor em deve satisfazer:
Então, vamos montar essas duas equações usando o produto interno dado.

Passo 3

Vamos calcular cada produto interno:
  1. Para :
  1. Para :
Agora, temos um sistema de equações para resolver:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar em função de :
Da primeira equação, expressamos em função de :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que todo vetor em é um múltiplo escalar de .

Resposta

Uma base para é .

Exercícios relacionados

Dados , determinar vetores e de modo que os três vetores sejam mutuamente ortogonais.
tina corda de e de peso está/amarrada ao teto pela sua extremidade superior e a inferior sustenta um peso . Quando a corda é puxada suavemenke, as ondas que se deslocam para cima obedecem à equação.
(a) Quanto tempo leva para um pulgo percorrer toda a extensão da corda? (b) Qual é o peso p? © Qual é a equação para ondas que se deslocam para baixo na corda?
Seja o produto interno Euclidiano do e sejam , e . Mostre que.
Calcule , onde .