(Tipler) Uma reta semi-infinita tem densidade linear uniforme de carga dada por lambda e se encontra posicionada no eixo x, com sua origem em x=0 até x= infinito. Calcular o valor das componentes Ex e Ey do campo elétrico ao longo do eixo y, perpendicular ax.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma reta semi-infinita carregada, ou seja, uma linha que começa no ponto e se estende até o infinito no eixo . A densidade linear de carga desta reta é uniforme e dada por , onde é uma constante e representa a unidade de carga. Nosso objetivo é calcular as componentes e do campo elétrico em um ponto ao longo do eixo , que é perpendicular ao eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição para campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de carga dq = lambda e , dx na reta carregada. Como a densidade linear de carga é , podemos expressar como:
onde é um pequeno segmento da reta no eixo .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a contribuição desse pequeno elemento de carga r = raizx^2 + y^2 para o campo elétrico dE = 14pivarepsilon0 dqr^2 r no ponto localizado no eixo a uma distância do eixo . A distância entre o elemento de carga e o ponto é:
De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a é:
onde é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Vamos decompor dEx = dE cdot costheta = dE cdot xraizx^2 + y^2 nas componentes dEy = dE cdot sintheta = dE cdot yraizx^2 + y^2 e . Pela simetria do problema, a componente será:
e a componente será:

Passo 5

Substituindo dE = 14pivarepsilon0 lambda e , dxx^2 + y^2 e dEx = 14pivarepsilon0 lambda e , x , dx(x^2 + y^2)^3/2 na expressão de dEy = 14pivarepsilon0 lambda e , y , dx(x^2 + y^2)^3/2 , temos:
Portanto, as componentes ficam:

Passo 6

Para encontrar o campo total Ex = integral0^infty 14pivarepsilon0 lambda e , x(x^2 + y^2)^3/2 , dx e Ey = integral0^infty 14pivarepsilon0 lambda e , y(x^2 + y^2)^3/2 , dx , integramos e de até :

Passo 7

Vamos resolver a integral para Ex = lambda e4pivarepsilon0 integral0^infty x(x^2 + y^2)^3/2 , dx :
Ex = lambda e4pivarepsilon0 cdot 12 integraly^2^infty u^-3/2 , du = lambda e8pivarepsilon0 [ -2u^-1/2 ]y^2^infty = 0
Fazendo a substituição , , temos:
Portanto, .

Passo 8

Agora, resolvemos a integral para Ey = lambda e , y4pivarepsilon0 integral0^infty 1(x^2 + y^2)^3/2 , dx :
Ey = lambda e , y4pivarepsilon0 cdot 1y^3 integral0^pi2 costheta , dtheta = lambda e4pivarepsilon0 y^2 [ sintheta ]0^pi2 = lambda e4pivarepsilon0 y^2
Usando a substituição , , a integral se transforma em:

Resposta

As componentes do campo elétrico no ponto ao longo do eixo Ex = 0 são:
Ey = lambda e4pivarepsilon0 y^2

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