(Tipler) Uma reta semi-infinita tem densidade linear uniforme de carga dada por se encontra posicionada no eixo , com sua origem em até infinito. Calcular o valor das componentes e do campo elétrico ao longo do eixo , perpendicular ax.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma reta semi-infinita carregada, ou seja, uma linha que começa no ponto e se estende até o infinito no eixo . A densidade linear de carga desta reta é uniforme e dada por , onde é uma constante e representa a unidade de carga. Nosso objetivo é calcular as componentes e do campo elétrico em um ponto ao longo do eixo , que é perpendicular ao eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição para campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de carga na reta carregada. Como a densidade linear de carga é , podemos expressar como:
onde é um pequeno segmento da reta no eixo .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a contribuição desse pequeno elemento de carga para o campo elétrico no ponto localizado no eixo a uma distância do eixo . A distância entre o elemento de carga e o ponto é:
De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a é:
onde é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Vamos decompor nas componentes e . Pela simetria do problema, a componente será:
e a componente será:

Passo 5

Substituindo e na expressão de , temos:
Portanto, as componentes ficam:

Passo 6

Para encontrar o campo total e , integramos e de até :

Passo 7

Vamos resolver a integral para :
Fazendo a substituição , , temos:
Portanto, .

Passo 8

Agora, resolvemos a integral para :
Usando a substituição , , a integral se transforma em:

Resposta

As componentes do campo elétrico no ponto ao longo do eixo são:

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