(Tipler) Uma reta semi-infinita tem densidade linear uniforme de carga dada por
se encontra posicionada no eixo
, com sua origem em
até
infinito. Calcular o valor das componentes
e
do campo elétrico ao longo do eixo
, perpendicular ax.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma reta semi-infinita carregada, ou seja, uma linha que começa no ponto
e se estende até o infinito no eixo
. A densidade linear de carga desta reta é uniforme e dada por
, onde
é uma constante e
representa a unidade de carga. Nosso objetivo é calcular as componentes
e
do campo elétrico em um ponto ao longo do eixo
, que é perpendicular ao eixo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição para campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de carga
na reta carregada. Como a densidade linear de carga é
, podemos expressar
como:
onde
é um pequeno segmento da reta no eixo
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a contribuição desse pequeno elemento de carga
para o campo elétrico
no ponto
localizado no eixo
a uma distância
do eixo
. A distância entre o elemento de carga e o ponto
é:
De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a
é:
onde
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
Vamos decompor
nas componentes
e
. Pela simetria do problema, a componente
será:
e a componente
será:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Portanto, as componentes ficam:
Passo 6
Para encontrar o campo total
e
, integramos
e
de
até
:
Passo 7
Vamos resolver a integral para
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Portanto,
.
Passo 8
Agora, resolvemos a integral para
:
Usando a substituição
,
, a integral se transforma em:
Resposta
As componentes do campo elétrico no ponto ao longo do eixo
são: