Um tubo de um órgão , com as duas extremidades abertas, tem uma frequência fundamental de . O quinto harmônico de um outro órgão , com uma extremidade aberta, tem a mesma frequência que o segundo harmônico do . Qual o comprimento: a) do tubo do órgão ; b) do ? Resp: a) ; b)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois tubos de órgãos, o A e o B. O tubo A tem ambas as extremidades abertas e uma frequência fundamental de 300 Hz. O tubo B tem apenas uma extremidade aberta, e o quinto harmônico dele tem a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo A. Precisamos encontrar o comprimento de cada tubo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de harmônicos em tubos abertos e fechados, além das fórmulas que relacionam frequência, comprimento e velocidade do som.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular as frequências dos harmônicos em tubos com diferentes configurações:
  • Tubo com ambas as extremidades abertas (como o órgão A):
    As frequências dos harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental:
    onde é o número do harmônico e é a frequência fundamental.
  • Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada (como o órgão B):
    As frequências dos harmônicos são ímpares múltiplos da frequência fundamental:
    onde assume valores ímpares (1, 3, 5, …).

Passo 3

Vamos calcular as frequências envolvidas:
  • Órgão A:
    Frequência fundamental ( ) = 300 Hz
    Segundo harmônico ( ) = Hz
  • Órgão B:
    O quinto harmônico ( ) é o mesmo que o segundo harmônico do órgão A, ou seja, 600 Hz.

Passo 4

Agora, vamos relacionar as frequências com o comprimento dos tubos. A fórmula geral para a frequência em tubos é:
Onde:
  • é a frequência
  • é a velocidade do som (aproximadamente )
  • é o comprimento de onda
Para tubos, o comprimento está relacionado com o comprimento de onda dependendo da configuração do tubo.

Passo 5

a) Comprimento do tubo do órgão A:
Para um tubo com ambas as extremidades abertas, a frequência fundamental está associada a uma onda estacionária onde o comprimento do tubo é metade do comprimento de onda:
Primeiro, encontramos :
Então, o comprimento é:
b) Comprimento do tubo do órgão B:
Para um tubo com uma extremidade aberta e outra fechada, a frequência do quinto harmônico corresponde a uma onda estacionária onde:
Sabemos que Hz, então:
Resolvendo para :

Resposta

a) ;
b)

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; b)
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