Um tubo de um órgão
, com as duas extremidades abertas, tem uma frequência fundamental de
. O quinto harmônico de um outro órgão
, com uma extremidade aberta, tem a mesma frequência que o segundo harmônico do
. Qual o comprimento: a) do tubo do órgão
; b) do
? Resp: a)
; b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois tubos de órgãos, o A e o B. O tubo A tem ambas as extremidades abertas e uma frequência fundamental de 300 Hz. O tubo B tem apenas uma extremidade aberta, e o quinto harmônico dele tem a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo A. Precisamos encontrar o comprimento de cada tubo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de harmônicos em tubos abertos e fechados, além das fórmulas que relacionam frequência, comprimento e velocidade do som.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular as frequências dos harmônicos em tubos com diferentes configurações:
-
Tubo com ambas as extremidades abertas (como o órgão A):
As frequências dos harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental:ondeé o número do harmônico e é a frequência fundamental. -
Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada (como o órgão B):
As frequências dos harmônicos são ímpares múltiplos da frequência fundamental:ondeassume valores ímpares (1, 3, 5, …).
Passo 3
Vamos calcular as frequências envolvidas:
-
Órgão A:
Frequência fundamental () = 300 Hz
Segundo harmônico () = Hz -
Órgão B:
O quinto harmônico () é o mesmo que o segundo harmônico do órgão A, ou seja, 600 Hz.
Passo 4
Agora, vamos relacionar as frequências com o comprimento dos tubos. A fórmula geral para a frequência em tubos é:
Onde:
-
é a frequência -
é a velocidade do som (aproximadamente ) -
é o comprimento de onda
Para tubos, o comprimento
está relacionado com o comprimento de onda dependendo da configuração do tubo.
Passo 5
a) Comprimento do tubo do órgão A:
Para um tubo com ambas as extremidades abertas, a frequência fundamental está associada a uma onda estacionária onde o comprimento do tubo é metade do comprimento de onda:
Primeiro, encontramos
:
Então, o comprimento
é:
b) Comprimento do tubo do órgão B:
Para um tubo com uma extremidade aberta e outra fechada, a frequência do quinto harmônico corresponde a uma onda estacionária onde:
Sabemos que
Hz, então:
Resolvendo para
:
Resposta
a)
;
b)
b)