Seja a matriz A=[rrr1 & 2 & -3 4 & 5 & 3], determine : a lei da TL definida por A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a lei da Transformação Linear (TL) definida pela matriz A = 1 & 2 & -3 4 & 5 & 3 . A matriz que a gente tem é:
Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre Transformações Lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como uma matriz define uma transformação linear e como multiplicar essa matriz por um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma Transformação Linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, a matriz é , o que significa que a transformação vai de para . Então, qualquer vetor de entrada em vai ser transformado por para um vetor de saída em .

Passo 3

Vamos definir o vetor de entrada x = x1 x2 x3 como:
T(x) = A cdot x = 1 & 2 & -3 4 & 5 & 3 x1 x2 x3
Agora, para encontrar a Transformação Linear , fazemos a multiplicação da matriz por :

Passo 4

Vamos calcular essa multiplicação passo a passo. A multiplicação de uma matriz por um vetor envolve somar os produtos dos elementos correspondentes. Então temos:
Para a primeira linha de 1 cdot x1 + 2 cdot x2 + (-3) cdot x3 = x1 + 2x2 - 3x3 :
4 cdot x1 + 5 cdot x2 + 3 cdot x3 = 4x1 + 5x2 + 3x3
Para a segunda linha de :

Passo 5

Juntando os resultados, a Transformação Linear T(x) = x1 + 2x2 - 3x3 4x1 + 5x2 + 3x3 fica:
Isso significa que, para qualquer vetor em , a transformação vai mapeá-lo para um novo vetor em conforme as expressões acima.

Resposta

A lei da Transformação Linear definida por T(x) = x1 + 2x2 - 3x3 4x1 + 5x2 + 3x3 é:

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