Toda matriz é invertível? Exemplifique.

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. A questão é: “Toda matriz é invertível? Exemplifique.” Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre matrizes e suas propriedades de invertibilidade. Para resolver, precisamos saber o que torna uma matriz invertível e dar exemplos de matrizes que são e que não são invertíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz quadrada é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nos demais elementos.

Passo 3

Importante notar que apenas matrizes quadradas podem ser invertidas. Se uma matriz não for quadrada (ou seja, tiver um número diferente de linhas e colunas), ela não tem uma inversa.

Passo 4

Além de ser quadrada, uma matriz só é invertível se seu determinante for diferente de zero. O determinante é um valor calculado a partir dos elementos da matriz que indica se a transformação representada pela matriz é reversível.

Passo 5

Vamos ver alguns exemplos:
  • Matriz Invertível:
O determinante de é , que é diferente de zero. Portanto, é invertível.
  • Matriz Não Invertível:
O determinante de é . Como o determinante é zero, não é invertível.

Resposta

Nem toda matriz é invertível. Apenas matrizes quadradas com determinante diferente de zero possuem inversa. Por exemplo, a matriz é invertível, enquanto não é invertível.

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