, prove que os vetores e são LD para qualquer ponto O.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A gente tem três vetores: , e , onde O é um ponto qualquer. O enunciado diz que o vetor é igual a um múltiplo λ do vetor , ou seja, . Nosso objetivo é provar que esses três vetores são linearmente dependentes (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender de vetores, combinação linear e o conceito de dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa combinação linear. Dizemos que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor desse conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que existe uma relação onde alguns coeficientes, não todos zero, multiplicados pelos vetores somam o vetor zero.

Passo 3

Vamos expressar os vetores e em termos dos vetores , e . Sabemos que:

Passo 4

O enunciado nos dá que . Substituindo as expressões que escrevemos:

Passo 5

Vamos distribuir o λ no lado direito da equação:

Passo 6

Agora, vamos levar todos os termos para o lado esquerdo para agrupar os vetores:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 7

A equação acima mostra uma combinação linear dos vetores , e que resulta no vetor zero. Os coeficientes são , e , respectivamente.

Passo 8

Como encontramos uma combinação linear não trivial (os coeficientes não são todos zero) que resulta no vetor zero, isso prova que os vetores , e são linearmente dependentes.

Resposta

Portanto, mostramos que os vetores , e são linearmente dependentes para qualquer ponto O.

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