Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas
Elipse, focos
, vértices
Elipse, focos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos em
e
, e um dos vértices em
. Vamos usar os conceitos de geometria das elipses para resolver isso.
Passo 2
A elipse tem dois focos, então vamos encontrar o centro da elipse. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre
e
, fazemos:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Em uma elipse, a distância do centro a um vértice é chamada de comprimento semi-maior, representado por
. Sabemos que um dos vértices está em
. A distância entre o centro
e o vértice
é:
Passo 4
A distância entre os dois focos é
, onde
é a distância do centro a um foco. Os focos estão em
e
, então a distância entre eles é:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
, que representa o comprimento semi-menor, usamos a relação entre
,
e
na elipse:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Com os valores de
,
e as coordenadas do centro
, podemos escrever a equação padrão da elipse com eixo maior horizontal:
Substituindo:
Resposta
A equação da elipse é:
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.
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