Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas
Elipse, focos (0,-1),(8,-1), vértices (9,-1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos em (0, -1) e (8, -1), e um dos vértices em (9, -1). Vamos usar os conceitos de geometria das elipses para resolver isso.

Passo 2

A elipse tem dois focos, então vamos encontrar o centro da elipse. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre (0, -1) e (8, -1), fazemos:
( 0 + 82, -1 + (-1)2 ) = (4, -1)
Então, o centro da elipse é (4, -1).

Passo 3

Em uma elipse, a distância do centro a um vértice é chamada de comprimento semi-maior, representado por a. Sabemos que um dos vértices está em (9, -1). A distância entre o centro (4, -1) e o vértice (9, -1) é:
a = 9 - 4 = 5

Passo 4

A distância entre os dois focos é 2c, onde c é a distância do centro a um foco. Os focos estão em (0, -1) e (8, -1), então a distância entre eles é:
2c = 8 - 0 = 8 implies c = 4

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de b, que representa o comprimento semi-menor, usamos a relação entre a, b e c na elipse:
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo os valores de a e c:
b^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 implies b = 3

Passo 6

Com os valores de a, b e as coordenadas do centro (h, k) = (4, -1), podemos escrever a equação padrão da elipse com eixo maior horizontal:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo:
(x - 4)^225 + (y + 1)^29 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 4)^225 + (y + 1)^29 = 1

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