Seja
uma função tal que
. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que satisfaz a propriedade
para todo
. O que precisamos provar é que
para qualquer
. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática e entender como a função se comporta quando aplicada a potências de um número.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a propriedade
significa. Basicamente, ela diz que o valor da função em um produto de dois números é igual à soma dos valores da função nesses números separadamente. Isso é parecido com logaritmos, mas aqui estamos trabalhando com números naturais.
Passo 3
Agora, vamos usar a indução matemática para provar que
. A indução tem dois passos: a base e o passo indutivo.
Passo 4
Base da indução: Vamos começar com
.
E, pela fórmula que queremos provar:
Então, a base está ok.
Passo 5
Passo indutivo: Vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum
, ou seja:
Agora, precisamos mostrar que:
Passo 6
Observe que
. Usando a propriedade da função:
Pela hipótese de indução:
Assim, provamos que se funciona para
, funciona para
.
Passo 7
Como a base da indução está ok e o passo indutivo está validado, pela indução matemática, a fórmula
é verdadeira para todo
.
Resposta
Para qualquer
, temos que
.
Exercícios relacionados
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
, seja quais forem
;
Um elemento
chama-se antecessor de
quando se tem
mas não existe
tal que
. Prove que, exceto 1 , todo número natural possui um antecessor.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
.
Para todo
, seja
Prove por indução em que:
Prove por indução em