a. Se, para todo x próximo de zero, vale
12-x^224<1-cos (x)x^2<12
então, calcule lim x 0 1-cos (x)x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de zero. Isso envolve entender limites e usar desigualdades para chegar à resposta. Vamos precisar lembrar como funciona o limite e a ideia de “ameaçar” o valor que queremos encontrar usando funções que estão “entre” elas.

Passo 2

Primeiro, olha só a desigualdade que foi dada:
12 - x^224 < 1 - cos(x)x^2 < 12
Essa desigualdade diz que a expressão fica sempre entre e para valores de bem próximos de zero.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando se aproxima de zero. O termo tende a zero porque fica bem pequeno. Então, a parte da esquerda da desigualdade, , também se aproxima de .

Passo 4

Com isso, temos que a expressão está “presa” entre dois valores que, quando vai para zero, ambos se aproximam de . Isso é a essência do Teorema do Aperto (ou Teorema do Sandwich), que nos diz que se uma função está limitada por duas outras que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Aperto aqui, já que:
limx to 0 ( 12 - x^224 ) = 12
e
limx to 0 12 = 12,
então
limx to 0 1 - cos(x)x^2 = 12

Resposta

O limite de quando se aproxima de zero é .

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