1. Verifique se a função f é contínua no ponto x = a dado, depois esboce o gráfico da função.
    a. f(x) = { 5 + x, se x <= 3, 9 - x, se x > 3 }, a = 3.

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a função é contínua no ponto . Além disso, depois disso, temos que esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua no ponto se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Vamos aplicar isso na nossa função.

Passo 3

A função dada é:
e queremos verificar a continuidade em .
Primeiro, vamos calcular :
Como está na primeira parte da função ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
Em seguida, o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ):

Passo 5

Agora, comparamos esses limites:
Como os limites laterais são diferentes ( ), o limite geral não existe.

Passo 6

Já que o limite não existe, a função não atende à terceira condição para continuidade:
Portanto, a função não é contínua no ponto .

Passo 7

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Vamos considerar as duas partes da função:
  1. Para :
Isso é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 5.
  1. Para :
Isso é uma reta com inclinação -1 e intercepto em 9.
No ponto , temos um salto no valor da função. À esquerda, , e à direita, o valor tende para 6, mas não chega a 8.

Resposta

A função não é contínua no ponto . O esboço do gráfico apresenta duas retas com um salto em .

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a. Se, para todo x próximo de zero, vale
12-x^224<1-cos (x)x^2<12
então, calcule lim x 0 1-cos (x)x^2.
x sen(x) = 2021
tem infinitas soluções reais.
a. f(x) = 3x^5 + x^3 + 2, [-1, 0].