- Verifique se a função
é contínua no ponto
dado, depois esboce o gráfico da função.
a.
.
a.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a função
é contínua no ponto
. Além disso, depois disso, temos que esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como trabalhar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função
é contínua no ponto
se três condições forem atendidas:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Vamos aplicar isso na nossa função.
Passo 3
A função dada é:
e queremos verificar a continuidade em
.
Primeiro, vamos calcular
:
Como está na primeira parte da função (
):
Como
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 3 pela esquerda (
):
Em seguida, o limite quando
se aproxima de 3 pela direita (
):
Passo 5
Agora, comparamos esses limites:
Como os limites laterais são diferentes (
), o limite geral
não existe.
Passo 6
Já que o limite não existe, a função não atende à terceira condição para continuidade:
Portanto, a função
não é contínua no ponto
.
Passo 7
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Vamos considerar as duas partes da função:
- Para
:
Isso é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 5.
- Para
:
Isso é uma reta com inclinação -1 e intercepto em 9.
No ponto
, temos um salto no valor da função. À esquerda,
, e à direita, o valor tende para 6, mas não chega a 8.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
. O esboço do gráfico apresenta duas retas com um salto em
.
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Calcule os cortes com os eixos coordenados, as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) e esboce o gráfico de cada uma dessas funções.
a. Se, para todo
próximo de zero, vale
então, calcule
.
tem infinitas soluções reais.
a.
.