1. Uma escada de 510 cm de comprimento se apoia em uma parede vertical. Se a extremidade inferior da escada se afasta da parede a uma taxa de 90 cm/s, quão rapidamente está descendo a extremidade superior no instante em que a inferior dista 240 cm da parede?

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma escada de 510 cm de comprimento apoiada em uma parede vertical. A base da escada está se afastando da parede a uma taxa de . Queremos descobrir quão rapidamente a parte de cima da escada está descendo quando a base está a 240 cm da parede.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que faz parte do cálculo diferencial. Precisamos relacionar as taxas de variação da base e da altura da escada em relação ao tempo.

Passo 2

Vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é a escada, de comprimento fixo .
  • Um cateto é a distância da base da escada à parede, .
  • O outro cateto é a altura da escada na parede, .
De acordo com o teorema de Pitágoras:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo para relacionar as taxas de variação:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Essa equação relaciona as velocidades e .

Passo 4

Sabemos que:
  • (a taxa na qual a base está se afastando).
  • no instante que queremos descobrir.
Precisamos encontrar quando . Usando o teorema de Pitágoras:

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação das taxas:
Isolando :

Resposta

A extremidade superior da escada está descendo a uma taxa de quando a base está a 240 cm da parede.

Exercícios relacionados

2k = f(3) + 3f'(1) + 2f''(1)
a. f(x) = (x^2 + raiz3(x^3 - 1))^5
a. f(x) = x^3 - x, [-1, 1].
a. Se, para todo x próximo de zero, vale
12-x^224<1-cos (x)x^2<12
então, calcule lim x 0 1-cos (x)x^2.