- Uma escada de 510 cm de comprimento se apoia em uma parede vertical. Se a extremidade inferior da escada se afasta da parede a uma taxa de
, quão rapidamente está descendo a extremidade superior no instante em que a inferior dista 240 cm da parede?
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma escada de 510 cm de comprimento apoiada em uma parede vertical. A base da escada está se afastando da parede a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rapidamente a parte de cima da escada está descendo quando a base está a 240 cm da parede.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que faz parte do cálculo diferencial. Precisamos relacionar as taxas de variação da base e da altura da escada em relação ao tempo.
Passo 2
Vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é a escada, de comprimento fixo
. - Um cateto é a distância da base da escada à parede,
. - O outro cateto é a altura da escada na parede,
.
De acordo com o teorema de Pitágoras:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo
para relacionar as taxas de variação:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Essa equação relaciona as velocidades
e
.
Passo 4
Sabemos que:
-
(a taxa na qual a base está se afastando). -
no instante que queremos descobrir.
Precisamos encontrar
quando
. Usando o teorema de Pitágoras:
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação das taxas:
Isolando
:
Resposta
A extremidade superior da escada está descendo a uma taxa de
quando a base está a 240 cm da parede.
Exercícios relacionados
a.
a.
.
a. Se, para todo
próximo de zero, vale
então, calcule
.