Determine a solução geral das equações:
22a)
22a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e técnicas para resolver equações de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos precisar lembrar como identificar e aplicar métodos como fator integrante e reduzir a ordem da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro os termos que estamos lidando:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
,
é a primeira derivada, e
é uma função de
que está multiplicando os termos de
e
.
Passo 3
Vamos tentar simplificar a equação reduzindo a ordem. Para isso, fazemos uma substituição. Seja
, então
. Substituindo na equação original, temos:
Agora, nossa equação ficou como uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo
e
.
Passo 4
Mas ainda temos duas funções,
e
. Para avançar, precisamos relacionar
com
. Sabemos que
, então podemos reescrever a equação como:
Podemos tentar expressar
em termos de
integrando, mas isso pode complicar. Em vez disso, vamos procurar uma solução de forma que possamos separar as variáveis.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação de um fator integrante. A equação pode ser escrita como:
Agora, reconhecemos que isso tem a forma de uma equação linear de primeira ordem, onde o termo que multiplica
é
e o termo constante é
.
Passo 6
Para resolver uma equação linear de primeira ordem da forma
, usamos o fator integrante:
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração. Agora, isolamos
:
Lembrando que
, temos:
Passo 9
Essa equação ainda é complexa, então precisamos assumir que conseguimos expressar
de forma que a integral seja solucionável. Dependendo da forma de
, podemos integrar e encontrar
.
Para simplificar, vamos considerar que
é tal que a integral é direta. Então, a solução geral será:
Onde
e
são constantes de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias e
,
são funções determinadas a partir de
na equação original.
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Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de 1ª ordem da forma
onde
é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se
, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que
é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança
transforma (B) na equação linear
Use esse método para resolver as seguintes equações:
9a)
9a)
Considerando
, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
(b)
(b)
Determine a solução geral das seguintes equações:
27a)
27a)
Em todos os pontos de uma curva
tem-se que
. Obtenha a equação da curva, se esta passa pelo ponto
e a reta tangente nesse ponto é perpendicular à reta