Determine a solução geral das equações:
22a) y'' - x f(x) y' + f(x) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e técnicas para resolver equações de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos precisar lembrar como identificar e aplicar métodos como fator integrante e reduzir a ordem da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro os termos que estamos lidando:
Aqui, é a segunda derivada de y em relação a x, é a primeira derivada, e f(x) é uma função de x que está multiplicando os termos de e y.

Passo 3

Vamos tentar simplificar a equação reduzindo a ordem. Para isso, fazemos uma substituição. Seja , então . Substituindo na equação original, temos:
Agora, nossa equação ficou como uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo v e y.

Passo 4

Mas ainda temos duas funções, v e y. Para avançar, precisamos relacionar v com y. Sabemos que , então podemos reescrever a equação como:
Podemos tentar expressar y em termos de v integrando, mas isso pode complicar. Em vez disso, vamos procurar uma solução de forma que possamos separar as variáveis.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação de um fator integrante. A equação pode ser escrita como:
Agora, reconhecemos que isso tem a forma de uma equação linear de primeira ordem, onde o termo que multiplica v é e o termo constante é .

Passo 6

Para resolver uma equação linear de primeira ordem da forma , usamos o fator integrante:
No nosso caso, , então:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(x):
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a x:
Aqui, C é a constante de integração. Agora, isolamos v:
Lembrando que , temos:

Passo 9

Essa equação ainda é complexa, então precisamos assumir que conseguimos expressar y de forma que a integral seja solucionável. Dependendo da forma de f(x), podemos integrar e encontrar y.
Para simplificar, vamos considerar que f(x) é tal que a integral é direta. Então, a solução geral será:
Onde e são constantes de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias e P(x), Q(x) são funções determinadas a partir de f(x) na equação original.

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Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de 1ª ordem da forma
y' + p(x) y = q(x) y^n
onde n é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se n = 1, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que y = 0 é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança z = y^(-n + 1) transforma (B) na equação linear
z' + (1-n) p(x) z = (1-n) q(x)
Use esse método para resolver as seguintes equações:
9a) y(6 x^2 y^2 - x + 1) + 2 x y' = 0
Considerando f(x) = (4 - x) / x, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
(b) f(x^2) - f(x)^2
Determine a solução geral das seguintes equações:
27a) y'' + 2y' + y = e^(-x) ln(x)
Em todos os pontos de uma curva y = f(x) tem-se que y'' = cos(2x) - sen(x). Obtenha a equação da curva, se esta passa pelo ponto 0,1 e a reta tangente nesse ponto é perpendicular à reta y = x