Determine a solução geral das equações:
22a) y'' - x f(x) y' + f(x) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e técnicas para resolver equações de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos precisar lembrar como identificar e aplicar métodos como fator integrante e reduzir a ordem da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro os termos que estamos lidando:
Aqui, é a segunda derivada de y em relação a x, é a primeira derivada, e f(x) é uma função de x que está multiplicando os termos de e y.

Passo 3

Vamos tentar simplificar a equação reduzindo a ordem. Para isso, fazemos uma substituição. Seja , então . Substituindo na equação original, temos:
Agora, nossa equação ficou como uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo v e y.

Passo 4

Mas ainda temos duas funções, v e y. Para avançar, precisamos relacionar v com y. Sabemos que , então podemos reescrever a equação como:
Podemos tentar expressar y em termos de v integrando, mas isso pode complicar. Em vez disso, vamos procurar uma solução de forma que possamos separar as variáveis.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação de um fator integrante. A equação pode ser escrita como:
Agora, reconhecemos que isso tem a forma de uma equação linear de primeira ordem, onde o termo que multiplica v é e o termo constante é .

Passo 6

Para resolver uma equação linear de primeira ordem da forma , usamos o fator integrante:
No nosso caso, , então:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(x):
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a x:
Aqui, C é a constante de integração. Agora, isolamos v:
Lembrando que , temos:

Passo 9

Essa equação ainda é complexa, então precisamos assumir que conseguimos expressar y de forma que a integral seja solucionável. Dependendo da forma de f(x), podemos integrar e encontrar y.
Para simplificar, vamos considerar que f(x) é tal que a integral é direta. Então, a solução geral será:
Onde e são constantes de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias e P(x), Q(x) são funções determinadas a partir de f(x) na equação original.

Exercícios relacionados