Para tornar possível a usinagem de ferros fundidos brancos, os mesmos são submetidos a um tratamento de descarbonetação. As condições de contorno induzem à seguinte solução da lei de Fick:
Se um ferro fundido branco com for mantido por 10 horas a em uma atmosfera descarbonetante , constante), a qual profundidade pode-se conseguir a composição de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado trata da descarbonetação de ferros fundidos brancos, que é um processo usado para reduzir o teor de carbono nesses ferros, facilitando a usinagem. Para resolver, vamos usar a segunda lei de Fick, que descreve como o carbono se difunde no material. Precisamos calcular a profundidade em que a composição de carbono atinge 1% após 10 horas a 1000°C em uma atmosfera com 0,1% de carbono.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação fornecida, que é a solução da segunda lei de Fick para esse caso específico:
Aqui:
  • é a concentração de carbono na profundidade que queremos encontrar (1%).
  • é a concentração de carbono na superfície (0,1%).
  • é a concentração inicial de carbono no ferro fundido (3,5%).
  • é o coeficiente de difusão do carbono no ferro a 1000°C.
  • é o tempo de tratamento (10 horas).
  • é a função erro, uma função matemática usada em processos de difusão.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar . Vamos reorganizar a equação para isolar :
Substituindo os valores fornecidos:
Temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o argumento da função erro que nos dá esse valor. Para isso, usamos a função inversa da função erro, conhecida como :
Calculando :
Usando tabelas ou uma calculadora científica, encontramos que:
Então:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Como a profundidade não pode ser negativa, descartamos o sinal negativo:

Passo 6

Finalmente, substituímos por 10 horas. Porém, precisamos garantir que as unidades estejam consistentes. Se estiver em , devemos converter 10 horas para segundos:
Então:

Resposta

A profundidade na qual a composição de carbono atinge 1% é dada por:
Onde é o coeficiente de difusão do carbono no ferro fundido branco a 1000°C. Para obter um valor numérico, é necessário conhecer o valor de para essas condições específicas.

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Temperatura
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