Para tornar possível a usinagem de ferros fundidos brancos, os mesmos são submetidos a um tratamento de descarbonetação. As condições de contorno induzem à seguinte solução da 2^a lei de Fick:
(Cx-Cs)=(C0-Cs) erf(-x2 raizD t)
Se um ferro fundido branco com 3,5 % C for mantido por 10 horas a 1000^circ C em uma atmosfera descarbonetante (0,1 % C, constante), a qual profundidade pode-se conseguir a composição de 1 % C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado trata da descarbonetação de ferros fundidos brancos, que é um processo usado para reduzir o teor de carbono nesses ferros, facilitando a usinagem. Para resolver, vamos usar a segunda lei de Fick, que descreve como o carbono se difunde no material. Precisamos calcular a profundidade em que a composição de carbono atinge 1% após 10 horas a 1000°C em uma atmosfera com 0,1% de carbono.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação fornecida, que é a solução da segunda lei de Fick para esse caso específico:
(Cx - Cs) = (C0 - Cs) erf(-x2 raizD t)
Aqui:
  • é a concentração de carbono na profundidade que queremos encontrar (1%).
  • é a concentração de carbono na superfície (0,1%).
  • é a concentração inicial de carbono no ferro fundido (3,5%).
  • é o coeficiente de difusão do carbono no ferro a 1000°C.
  • é o tempo de tratamento (10 horas).
  • é a função erro, uma função matemática usada em processos de difusão.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar erf(-x2 raizD t) = Cx - CsC0 - Cs . Vamos reorganizar a equação para isolar erf(-x2 raizD t) = 1 - 0,13,5 - 0,1 = 0,93,4 approx 0,2647 :
Substituindo os valores fornecidos:
Temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o argumento da função erro que nos dá esse valor. Para isso, usamos a função inversa da função erro, conhecida como -x2 raizD t = erf^-1(0,2647) :
erf^-1(0,2647) approx 0,236
Calculando -x2 raizD t = 0,236 :
Usando tabelas ou uma calculadora científica, encontramos que:
Então:

Passo 5

Agora, vamos isolar x = -2 raizD t times 0,236 x = -0,472 raizD t :
x = 0,472 raizD t
Como a profundidade não pode ser negativa, descartamos o sinal negativo:

Passo 6

Finalmente, substituímos 10 horas = 10 times 3600 = 36000 segundos por 10 horas. Porém, precisamos garantir que as unidades estejam consistentes. Se x = 0,472 raizD times 36000 estiver em , devemos converter 10 horas para segundos:
Então:

Resposta

A profundidade na qual a composição de carbono atinge 1% é dada por:
x = 0,472 raizD times 36000
Onde é o coeficiente de difusão do carbono no ferro fundido branco a 1000°C. Para obter um valor numérico, é necessário conhecer o valor de para essas condições específicas.

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