Para tornar possível a usinagem de ferros fundidos brancos, os mesmos são submetidos a um tratamento de descarbonetação. As condições de contorno induzem à seguinte solução da
lei de Fick:
Se um ferro fundido branco com
for mantido por 10 horas a
em uma atmosfera descarbonetante
, constante), a qual profundidade pode-se conseguir a composição de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado trata da descarbonetação de ferros fundidos brancos, que é um processo usado para reduzir o teor de carbono nesses ferros, facilitando a usinagem. Para resolver, vamos usar a segunda lei de Fick, que descreve como o carbono se difunde no material. Precisamos calcular a profundidade em que a composição de carbono atinge 1% após 10 horas a 1000°C em uma atmosfera com 0,1% de carbono.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação fornecida, que é a solução da segunda lei de Fick para esse caso específico:
Aqui:
-
é a concentração de carbono na profundidade que queremos encontrar (1%). -
é a concentração de carbono na superfície (0,1%). -
é a concentração inicial de carbono no ferro fundido (3,5%). -
é o coeficiente de difusão do carbono no ferro a 1000°C. -
é o tempo de tratamento (10 horas). -
é a função erro, uma função matemática usada em processos de difusão.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
. Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Substituindo os valores fornecidos:
Temos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o argumento da função erro que nos dá esse valor. Para isso, usamos a função inversa da função erro, conhecida como
:
Calculando
:
Usando tabelas ou uma calculadora científica, encontramos que:
Então:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Como a profundidade
não pode ser negativa, descartamos o sinal negativo:
Passo 6
Finalmente, substituímos
por 10 horas. Porém, precisamos garantir que as unidades estejam consistentes. Se
estiver em
, devemos converter 10 horas para segundos:
Então:
Resposta
A profundidade na qual a composição de carbono atinge 1% é dada por:
Onde
é o coeficiente de difusão do carbono no ferro fundido branco a 1000°C. Para obter um valor numérico, é necessário conhecer o valor de
para essas condições específicas.