A Torre Eiffel, com seus 324 metros de altura, feita com treliças de ferro, pesava 7 300 toneladas quando terminou de ser construída em 1889. Um arquiteto resolve construir um protótipo dessa torre em escala 1:100, usando os mesmos materiais (cada dimensão linear em escala de 1:100 do monumento real). Considere que a torre real tenha uma massa Mtorre e exerça na fundação sobre a qual foi erguida uma pressão Ptorre. O modelo construído pelo arquiteto terá uma massa Mmodelo e exercerá uma pressão Pmodelo. Como a pressão exercida pela torre se compara com a pressão exercida pelo protótipo? Ou seja, qual é a razão entre as pressões (Ptorre)/(Pmodelo)?
a) 10⁰
b) 10¹
c) 10²
d) 10⁴
e) 10⁶

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a Torre Eiffel e um modelo em escala 1:100 dela. O que precisamos entender aqui envolve conceitos de escalonamento e pressão. Basicamente, vamos comparar a pressão que a torre real exerce com a pressão que o modelo exerce na fundação. Para isso, vamos precisar das fórmulas de pressão e entender como a escala afeta a massa e a área de contato.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da pressão:
P = FA
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ F $ é a força (no nosso caso, o peso da torre),
  • $ A $ é a área sobre a qual a força é aplicada.
Como $ F = m \times g $ (onde $ m $ é a massa e $ g $ é a aceleração da gravidade), podemos reescrever a pressão como:
P

Passo 3

Agora, vamos analisar como a escala 1:100 afeta a massa e a área. Para um modelo em escala linear de 1💯
  • Dimensões Lineares: Todas as medidas lineares são reduzidas por um fator de 100.
  • Área: Como a área é uma medida bidimensional, ela será reduzida pelo fator 100^2 = 10,000.
  • Volume e Massa: Como a massa depende do volume (tridimensional), ela será reduzida pelo fator 100^3 = 1,000,000.
Então, se $ M_{torre} $ é a massa da torre real, a massa do modelo será:
Mtorre

Passo 4

Vamos agora ver como a área de contato com a fundação se comporta. Se a área da fundação da torre real é $ A_{torre} $, a área da fundação do modelo será:
Atorre
Isso porque a área sofre uma redução quadrática com a escala.

Passo 5

Com as massas e áreas em mãos, podemos agora expressar as pressões:
Para a torre real:
Ptorre = Mtorre times gAtorre
Para o modelo:
Pmodelo = Mmodelo times gAmodelo = Mtorre10^6 times gAtorre10^4 = Mtorre times gAtorre times 110^2 = Ptorre10^2

Passo 6

Agora, queremos a razão entre as pressões:
PtorrePmodelo = PtorrePtorre10^2 = 10^2
Isso significa que a pressão exercida pela torre real é 100 vezes maior que a do modelo.

Resposta

c) 10^2

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