A Torre de Pisa tem uma altura aproximada de 56 metros e uma massa de 14.700 toneladas. Sua base é circular, com um raio de aproximadamente 8 metros.
Atualmente, a torre está inclinada em cerca de 4 graus em relação à vertical. (a) Calcule a posição do centro de massa da torre em relação à base (deslocamento horizontal do centro de massa devido à inclinação). (b) Determine se a torre está em risco de tombar considerando um modelo simplificado de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Torre de Pisa, que está inclinada em 4 graus. Precisamos calcular como essa inclinação afeta a posição do centro de massa da torre e verificar se ela está em risco de tombar. Para isso, vamos usar conceitos de estática e equilíbrio de torres inclinadas. Vamos precisar de trigonometria básica para calcular o deslocamento horizontal e entender como o centro de massa influencia a estabilidade da torre.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde a massa total do objeto pode ser considerada concentrada para fins de análise de equilíbrio. Quando a torre está inclinada, o centro de massa se desloca horizontalmente em relação à base.

Passo 3

Para calcular o deslocamento horizontal do centro de massa, podemos usar a relação trigonométrica do seno. A inclinação da torre forma um triângulo retângulo onde:
  • A altura da torre (56 metros) é o lado oposto ao ângulo de inclinação.
  • O deslocamento horizontal que queremos encontrar é o lado adjacente.
  • O ângulo de inclinação é de 4 graus.
A fórmula do seno é:
sin(theta) = opostohipotenusa
Mas como queremos o deslocamento horizontal (adjacente), usaremos o seno para encontrar o deslocamento.

Passo 4

Rearranjando a fórmula para encontrar o deslocamento horizontal ( d = h times sin(theta) ):
Onde:
  • metros (altura da torre)
  • (ângulo de inclinação)

Passo 5

Vamos calcular d = 56 times sin(4^circ) :
sin(4^circ) approx 0,06976
Primeiro, calculamos o seno de 4 graus:
d = 56 times 0,06976 approx 3,908 metros
Então:

Passo 6

Agora que temos o deslocamento horizontal do centro de massa ( metros), podemos passar para a parte (b) do exercício, que é determinar se a torre está em risco de tombar.

Passo 7

Para verificar o risco de tombamento, comparamos o deslocamento do centro de massa com o raio da base da torre. Se o deslocamento for menor que o raio da base, a torre está estável. Caso contrário, há risco de tombar.
Dados:
  • Deslocamento do centro de massa ( metros)
  • Raio da base ( metros)

Passo 8

Comparando 3,908 metros < 8 metros e :
Como o deslocamento está dentro do raio da base, a torre está estável e não está em risco imediato de tombar.

Resposta

(a) O deslocamento horizontal do centro de massa é aproximadamente 3,908 metros.
(b) Como o deslocamento do centro de massa é menor que o raio da base (3,908 m < 8 m), a Torre de Pisa não está em risco de tombar no momento.

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