Uma barra homogênea horizontal de comprimento L=4 m e massa m=80 kg está presa em suas extremidades por dois cabos elásticos verticais de mesmo comprimento não deformado, L0=2 m, feitos de um material com módulo de elasticidade E. A barra está em equilíbrio e o ponto médio da barra está h=0.1 m abaixo do nível dos pontos de fixação dos cabos (a barra cedeu devido à sua própria massa). (a) Determine a força que cada cabo exerce sobre a barra. (b) Calcule a constante elástica k de cada cabo (supondo que os cabos sigam a Lei de Hooke). © Verifique se a barra está em equilíbrio estático considerando as forças elásticas e o peso da barra.

Passo 1

Vamos entender o que tá rolando aqui: Temos uma barra horizontal de 4 metros de comprimento e 80 kg de massa, que tá presa nas duas pontas por cabos verticais elásticos que, sem esticar, têm 2 metros de comprimento. Aí, a barra cedeu um pouquinho, deixando o ponto meio 0,1 metro abaixo do nível onde os cabos estão fixados. Precisamos descobrir três coisas:
a) A força que cada cabo tá puxando na barra.
b) A constante elástica de cada cabo, usando a Lei de Hooke.
c) Se essa configuração tá realmente em equilíbrio estático, ou seja, se tá tudo certinho sem movimento.
Para resolver, vamos usar princípios de estática (equilíbrio de forças) e a Lei de Hooke para os cabos elásticos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que estão atuando na barra. A barra está em equilíbrio, então a soma das forças para cima deve igualar a soma das forças para baixo.
As forças pra cima são:
  • A força que cada cabo exerce, que vamos chamar de 2T = P . Como são dois cabos, a força total pra cima é .
A força pra baixo é:
  • O peso da barra, que é , onde e .
Então, a condição de equilíbrio fica:

Passo 3

Calculando o peso da barra:
P = m cdot g = 80 , kg times 9,8 , m/s^2 = 784 , N

Passo 4

Aplicando a condição de equilíbrio:
2T = 784 , N
T = 784 , N2 = 392 , N
Então, cada cabo está exercendo uma força de 392 N para cima.

Passo 5

Agora, vamos descobrir a constante elástica T = kx de cada cabo usando a Lei de Hooke, que diz que:
Onde:
  • é a força exercida pelo cabo (392 N).
  • é o alongamento do cabo.
Precisamos encontrar o valor de , que é quanto o cabo esticou além do seu comprimento original.

Passo 6

Para achar o alongamento L = raiz2^2 + 2,1^2 , vamos primeiro calcular o comprimento alongado do cabo. A barra cedeu 0,1 metro, então o ponto médio está 0,1 m abaixo dos pontos de fixação. Isso forma um triângulo retângulo com:
  • Base: metade do comprimento da barra, ou seja, L = raiz4 + 4,41 .
  • Altura: L = raiz8,41 .
Usamos o Teorema de Pitágoras para achar o comprimento alongado L approx 2,9 , m :
x = L - L0 = 2,9 , m - 2 , m = 0,9 , m
O alongamento é:

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Hooke para encontrar T = kx :
392 , N = k times 0,9 , m
k = 392 , N0,9 , m
k approx 435,56 , N/m
Então, a constante elástica de cada cabo é aproximadamente 435,56 N/m.

Passo 8

Por fim, para verificar se a barra está em equilíbrio estático, já vimos que as forças verticais se equilibram:
2T = P
2 times 392 , N = 784 , N
Além disso, não há torques desequilibrados porque a barra está simétrica e as forças estão distribuídas igualmente. Portanto, a barra está em equilíbrio estático.

Resposta

a) Cada cabo exerce uma força de aproximadamente .
b) A constante elástica de cada cabo é aproximadamente .
c) Sim, a barra está em equilíbrio estático considerando as forças elásticas e o peso da barra.

Exercícios relacionados