Uma barra homogênea horizontal de comprimento
e massa
está presa em suas extremidades por dois cabos elásticos verticais de mesmo comprimento não deformado,
, feitos de um material com módulo de elasticidade E. A barra está em equilíbrio e o ponto médio da barra está
abaixo do nível dos pontos de fixação dos cabos (a barra cedeu devido à sua própria massa). (a) Determine a força que cada cabo exerce sobre a barra. (b) Calcule a constante elástica k de cada cabo (supondo que os cabos sigam a Lei de Hooke). © Verifique se a barra está em equilíbrio estático considerando as forças elásticas e o peso da barra.
Passo 1
Vamos entender o que tá rolando aqui: Temos uma barra horizontal de 4 metros de comprimento e 80 kg de massa, que tá presa nas duas pontas por cabos verticais elásticos que, sem esticar, têm 2 metros de comprimento. Aí, a barra cedeu um pouquinho, deixando o ponto meio 0,1 metro abaixo do nível onde os cabos estão fixados. Precisamos descobrir três coisas:
a) A força que cada cabo tá puxando na barra.
b) A constante elástica
de cada cabo, usando a Lei de Hooke.
c) Se essa configuração tá realmente em equilíbrio estático, ou seja, se tá tudo certinho sem movimento.
Para resolver, vamos usar princípios de estática (equilíbrio de forças) e a Lei de Hooke para os cabos elásticos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que estão atuando na barra. A barra está em equilíbrio, então a soma das forças para cima deve igualar a soma das forças para baixo.
As forças pra cima são:
- A força que cada cabo exerce, que vamos chamar de
. Como são dois cabos, a força total pra cima é .
A força pra baixo é:
- O peso da barra, que é
, onde e .
Então, a condição de equilíbrio fica:
Passo 3
Calculando o peso da barra:
Passo 4
Aplicando a condição de equilíbrio:
Então, cada cabo está exercendo uma força de 392 N para cima.
Passo 5
Agora, vamos descobrir a constante elástica
de cada cabo usando a Lei de Hooke, que diz que:
Onde:
-
é a força exercida pelo cabo (392 N). -
é o alongamento do cabo.
Precisamos encontrar o valor de
, que é quanto o cabo esticou além do seu comprimento original.
Passo 6
Para achar o alongamento
, vamos primeiro calcular o comprimento alongado do cabo. A barra cedeu 0,1 metro, então o ponto médio está 0,1 m abaixo dos pontos de fixação. Isso forma um triângulo retângulo com:
- Base: metade do comprimento da barra, ou seja,
. - Altura:
.
Usamos o Teorema de Pitágoras para achar o comprimento alongado
:
O alongamento
é:
Passo 7
Agora, aplicamos a Lei de Hooke para encontrar
:
Então, a constante elástica de cada cabo é aproximadamente 435,56 N/m.
Passo 8
Por fim, para verificar se a barra está em equilíbrio estático, já vimos que as forças verticais se equilibram:
Além disso, não há torques desequilibrados porque a barra está simétrica e as forças estão distribuídas igualmente. Portanto, a barra está em equilíbrio estático.
Resposta
a) Cada cabo exerce uma força de aproximadamente
.
b) A constante elástica de cada cabo é aproximadamente
.
c) Sim, a barra está em equilíbrio estático considerando as forças elásticas e o peso da barra.