Qual o trabalho realizado pelo gás para ir do estado A para o estado B em termos das variáveis P1, P2, V1 e V2 ?

Passo 1

Então, a gente tem um gás que vai do estado A pro estado B. Queremos saber quanto trabalho esse gás fez nesse processo. Isso tá relacionado com a matéria de Termodinâmica, mais especificamente com o conceito de trabalho em processos que envolvem pressão e volume. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam pressão, volume e trabalho realizado pelo gás.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W = integralV1^V2 P , dV feito por um gás durante uma expansão ou compressão pode ser calculado pela integral da pressão em relação ao volume:
Isso significa que a gente precisa saber como a pressão varia com o volume nesse processo.

Passo 3

Como não temos detalhes sobre o caminho específico que o gás segue de A para B, vamos assumir que a pressão varia de maneira linear entre P(V) = P1 + P2 - P1V2 - V1 (V - V1) e conforme o volume varia de para . Assim, podemos expressar a pressão como uma função de :

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de W = integralV1^V2 ( P1 + P2 - P1V2 - V1 (V - V1) ) dV na integral do trabalho:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, separamos a integral em duas partes:
W = integralV1^V2 P1 , dV + integralV1^V2 P2 - P1V2 - V1 (V - V1) , dV
A primeira parte é fácil de integrar, e a segunda parte vai nos dar uma expressão adicional.

Passo 6

Calculando a primeira integral:
integralV1^V2 P1 , dV = P1 (V2 - V1)
Isso representa o trabalho feito se a pressão fosse constante.

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral. Primeiro, fatoramos os constantes:
P2 - P1V2 - V1 integralV1^V2 (V - V1) , dV
A integral de integral (V - V1) , dV = (V - V1)^22 em relação a (V2 - V1)^22 é:
Avaliando de a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do trabalho:
W = P1 (V2 - V1) + P2 - P1V2 - V1 cdot (V2 - V1)^22
Simplificando:
W = P1 (V2 - V1) + (P2 - P1)(V2 - V1)2

Passo 9

Fazendo uma fatoração:
W = ( P1 + P2 - P12 ) (V2 - V1)
Isso simplifica para:
W = P1 + P22 (V2 - V1)

Resposta

Então, o trabalho realizado pelo gás nesse processo é:
W = P1 + P22 (V2 - V1)

Exercícios relacionados