Qual o trabalho realizado pelo gás para ir do estado A para o estado B em termos das variáveis e ?

Passo 1

Então, a gente tem um gás que vai do estado A pro estado B. Queremos saber quanto trabalho esse gás fez nesse processo. Isso tá relacionado com a matéria de Termodinâmica, mais especificamente com o conceito de trabalho em processos que envolvem pressão e volume. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam pressão, volume e trabalho realizado pelo gás.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho feito por um gás durante uma expansão ou compressão pode ser calculado pela integral da pressão em relação ao volume:
Isso significa que a gente precisa saber como a pressão varia com o volume nesse processo.

Passo 3

Como não temos detalhes sobre o caminho específico que o gás segue de A para B, vamos assumir que a pressão varia de maneira linear entre e conforme o volume varia de para . Assim, podemos expressar a pressão como uma função de :

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de na integral do trabalho:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, separamos a integral em duas partes:
A primeira parte é fácil de integrar, e a segunda parte vai nos dar uma expressão adicional.

Passo 6

Calculando a primeira integral:
Isso representa o trabalho feito se a pressão fosse constante.

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral. Primeiro, fatoramos os constantes:
A integral de em relação a é:
Avaliando de a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do trabalho:
Simplificando:

Passo 9

Fazendo uma fatoração:
Isso simplifica para:

Resposta

Então, o trabalho realizado pelo gás nesse processo é:

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