Trace o gráfico e analise a continuidade da função
f(x, y) = sen(x y) / (x y) se x y ≠ 0; 1 se x y = 0

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma função de duas variáveis, , definida por:
Precisamos traçar o gráfico dessa função e analisar onde ela é contínua. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando é diferente de zero e quando é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte da função quando . Nesse caso, temos .
A função é conhecida e aparece frequentemente em análises de limites. Sabemos que quando se aproxima de zero, se aproxima de 1. Isso é importante para garantir que a função seja bem comportada próximo a zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar o caso quando . Isso acontece quando ou ou (ou ambos). Nesses casos, a função está definida como .
Isso nos ajuda a evitar uma divisão por zero na expressão , garantindo que a função tenha um valor definido mesmo quando .

Passo 4

Para traçar o gráfico, vamos considerar que a função depende do produto . Isso significa que, para valores fixos de ou , o comportamento da função será similar a , onde .
Se imaginarmos , o gráfico de será semelhante a um gráfico de superfície onde, ao redor de , a superfície se aproxima de 1, e para valores maiores de , a função oscila entre -1 e 1, diminuindo em amplitude conforme aumenta.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no ponto.
No caso de :
  • Quando , a função é contínua, pois é uma composição de funções contínuas ( e divisão, exceto quando o denominador é zero, o que já tratamos).
  • Quando , a função é definida como 1. E sabemos que:
Isso significa que a função é contínua nesse ponto, já que o limite coincide com o valor da fun��ão.

Resposta

A função é contínua em todo o domínio, e seu gráfico é uma superfície suave que se aproxima de 1 quando se aproxima de zero e oscila entre -1 e 1 conforme aumenta.

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