Trace o gráfico e analise a continuidade da função
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma função de duas variáveis,
, definida por:
Precisamos traçar o gráfico dessa função e analisar onde ela é contínua. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando
é diferente de zero e quando
é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte da função quando
. Nesse caso, temos
.
A função
é conhecida e aparece frequentemente em análises de limites. Sabemos que quando
se aproxima de zero,
se aproxima de 1. Isso é importante para garantir que a função seja bem comportada próximo a zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso quando
. Isso acontece quando ou
ou
(ou ambos). Nesses casos, a função está definida como
.
Isso nos ajuda a evitar uma divisão por zero na expressão
, garantindo que a função tenha um valor definido mesmo quando
.
Passo 4
Para traçar o gráfico, vamos considerar que a função depende do produto
. Isso significa que, para valores fixos de
ou
, o comportamento da função será similar a
, onde
.
Se imaginarmos
, o gráfico de
será semelhante a um gráfico de superfície onde, ao redor de
, a superfície se aproxima de 1, e para valores maiores de
, a função oscila entre -1 e 1, diminuindo em amplitude conforme
aumenta.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no ponto.
No caso de
:
-
Quando
, a função é contínua, pois é uma composição de funções contínuas ( e divisão, exceto quando o denominador é zero, o que já tratamos). -
Quando
, a função é definida como 1. E sabemos que:
Isso significa que a função é contínua nesse ponto, já que o limite coincide com o valor da fun��ão.
Resposta
A função
é contínua em todo o domínio, e seu gráfico é uma superfície suave que se aproxima de 1 quando
se aproxima de zero e oscila entre -1 e 1 conforme
aumenta.