Seja
(a) Mostre que
quando
por qualquer caminho da forma
passando por
.
(b) Apesar da parte (a), mostre que
é descontínua em
.
© Mostre que
é descontínua em duas curvas inteiras.
(b) Apesar da parte (a), mostre que
© Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função
que é definida de forma diferente dependendo dos valores de
em relação a
. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao aproximar
de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Precisamos mostrar que
tende a 0 quando
se aproxima de
por qualquer caminho da forma
com
.
Primeiro, substituímos
na função
:
Substituindo
, temos:
Como
, para
próximo de 0,
. Portanto, a condição que determina
é que
somente se
, o que não ocorre porque
. Assim, para esses caminhos,
sempre será 0 à medida que
tende a 0.
Passo 3
Agora, para a parte (b), mesmo que
tenda a 0 por todos os caminhos
com
, precisamos mostrar que
é descontínua em
.
Para isso, consideramos um caminho diferente, onde
. Nesse caso, substituindo na função:
Aqui,
sempre é verdadeiro, então
. No entanto, se tomarmos um caminho ligeiramente abaixo de
, por exemplo,
com
, então
.
Isso mostra que os limites por diferentes caminhos não são consistentes, o que implica que
não tem um limite único em
, ou seja, é descontínua nesse ponto.
Passo 4
Finalmente, na parte ©, precisamos mostrar que
é descontínua em duas curvas inteiras.
Vamos considerar as curvas
e
.
- Para
:
Mas se nos aproximarmos de
por baixo, como
, teremos
. Portanto, o limite não é consistente ao longo dessa curva.
- Para
:
E se nos aproximarmos por cima, como
, dependendo do valor de
, podemos ter
variando entre 0 e 1. Isso também demonstra uma descontinuidade.
Portanto,
é descontínua ao longo dessas duas curvas inteiras.
Resposta
Resolvido nos passos acima:
(a)
quando
por qualquer caminho
com
.
(b)
é descontínua em
.
©
é descontínua nas curvas
e
.