Seja
f(x, y) = { 0 se y <= 0 ou y >= x^4; 1 se 0 < y < x^4 }
(a) Mostre que f(x, y) -> 0 quando (x, y) -> (0, 0) por qualquer caminho da forma y = m x^a passando por (0,0) com a < 4.
(b) Apesar da parte (a), mostre que f é descontínua em (0,0).
© Mostre que f é descontínua em duas curvas inteiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que é definida de forma diferente dependendo dos valores de em relação a . A matéria envolvida aqui é cálculo de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao aproximar de por diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Precisamos mostrar que tende a 0 quando se aproxima de por qualquer caminho da forma com .
Primeiro, substituímos na função :
Substituindo , temos:
Como , para próximo de 0, . Portanto, a condição que determina é que somente se , o que não ocorre porque . Assim, para esses caminhos, sempre será 0 à medida que tende a 0.

Passo 3

Agora, para a parte (b), mesmo que tenda a 0 por todos os caminhos com , precisamos mostrar que é descontínua em .
Para isso, consideramos um caminho diferente, onde . Nesse caso, substituindo na função:
Aqui, sempre é verdadeiro, então . No entanto, se tomarmos um caminho ligeiramente abaixo de , por exemplo, com , então .
Isso mostra que os limites por diferentes caminhos não são consistentes, o que implica que não tem um limite único em , ou seja, é descontínua nesse ponto.

Passo 4

Finalmente, na parte ©, precisamos mostrar que é descontínua em duas curvas inteiras.
Vamos considerar as curvas e .
  1. Para :
Mas se nos aproximarmos de por baixo, como , teremos . Portanto, o limite não é consistente ao longo dessa curva.
  1. Para :
E se nos aproximarmos por cima, como , dependendo do valor de , podemos ter variando entre 0 e 1. Isso também demonstra uma descontinuidade.
Portanto, é descontínua ao longo dessas duas curvas inteiras.

Resposta

Resolvido nos passos acima:
(a) quando por qualquer caminho com .
(b) é descontínua em .
© é descontínua nas curvas e .

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