Verifique que o teorema de Gauss é verdadeiro para o campo vetorial dado na região E dada.
Isto significa que em cada ítem o aluno deve calcular integral duplaS F cdot d S e calcular integral triplaE div(F) d V para provar que são iguais.
E quando calcular integral duplaS F cdot d S, lembre-se que tem que calcular em todos os lados da superfície e somar!
F(x, y, z)=x y i+y z j+z x k e E é o cilindro sólido: x^2+y^2 <= 1, 0 <= z <= 1
Respostas: integral duplaS F cdot d S=integral triplaE div(F) d V=pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o Teorema de Gauss é válido para o campo vetorial dado na região . Esse teorema nos diz que a integral de superfície do campo vetorial sobre a fronteira de é igual à integral de volume da divergência de dentro de . Para resolver, vamos precisar:
  1. Calcular (integral de superfície).
  2. Calcular (integral de volume).
  3. Mostrar que os dois resultados são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial div(F) = partial (xy)partial x + partial (yz)partial y + partial (zx)partial z . A divergência de partial (xy)partial x = y é dada por:
partial (yz)partial y = z
Calculando cada derivada parcial:
partial (zx)partial z = x
div(F) = y + z + x
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região x = rcostheta, y = rsintheta, z = z , que é um cilindro sólido definido por div(F) = y + z + x = rsintheta + z + rcostheta e integral triplaE (rsintheta + z + rcostheta) , r , dr , dtheta , dz .
Usando coordenadas cilíndricas, onde:
integral0^1 dr integral0^2pi sintheta , dtheta integral0^1 dz = 0
E o elemento de volume é integral0^1 z , dz integral0^2pi dtheta integral0^1 r , dr = ( 12 ) cdot 2pi cdot 12 = pi2 .
A divergência em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^1 dr integral0^2pi costheta , dtheta integral0^1 z , dz = 0
Então, a integral de volume é:
integral triplaE div(F) , dV = 0 + pi2 + 0 = pi2
Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de :
Porque .
  1. Integral de :
  1. Integral de :
Porque .
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície F = xy,i + yz,j + zx,k = r^2 costheta sintheta,i + r z sintheta,j + r z costheta,k . A superfície F cdot n = r^2 costheta sintheta cdot costheta + r z sintheta cdot sintheta = r^2 cos^2theta sintheta + r z sin^2theta do cilindro integral duplaS1 F cdot dS = integral0^1 dz integral0^2pi (r^2 cos^2theta sintheta + r z sin^2theta) r , dtheta tem três partes:
  1. Superfície lateral ( F cdot n = zx = r costheta cdot 1 = r costheta ): integral duplaS2 F cdot dS = integral0^2pi integral0^1 r costheta cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi costheta ( integral0^1 r^2 , dr ) dtheta = ( 13 ) integral0^2pi costheta , dtheta = 0 , F cdot n = -zx = 0
  2. Tampa superior ( integral duplaS3 F cdot dS = 0 ): integral duplaS F cdot dS = integral duplaS1 F cdot dS + integral duplaS2 F cdot dS + integral duplaS3 F cdot dS = 0 + 0 + 0 = 0 , integral duplaS1 F cdot dS = integral0^1 dz integral0^2pi r^2 cos^2theta sintheta , dtheta + integral0^1 dz integral0^2pi r z sin^2theta , dtheta
  3. Tampa inferior ( integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi ): integral0^1 r z , dz = r2 , integral duplaS1 F cdot dS = 0 + integral0^2pi integral0^1 r z sin^2theta , dr , dz = 12 cdot pi = pi2
Vamos calcular a integral em cada uma dessas superfícies e depois somar os resultados.

Integral sobre a Superfície Lateral :

Usando coordenadas cilíndricas:
O vetor normal para a lateral é , e .
Então,
Integrando:
Note que, ao integrar funções ímpares de sobre a , elas se anulam. Portanto, essa integral resulta em 0.

Integral sobre a Tampa Superior :

Aqui, e o vetor normal é .
Então,
A integral fica:

Integral sobre a Tampa Inferior :

Aqui, e o vetor normal é (para apontar para fora do cilindro).
Então,
Portanto,

Soma das Integrais:

Isso parece contradizer a resposta esperada de . Porém, houve um erro na avaliação da integral sobre a superfície lateral . Vamos reconsiderar essa parte.

Reavaliação da Integral sobre :

Ao reavaliar, percebemos que a componente pode contribuir. Recalculando:
A primeira integral ainda é zero. Já a segunda:
Então,

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot dS = integral triplaE div(F) , dV = pi2 e a integral de volume ambas são iguais a , confirmando que o Teorema de Gauss é válido para o campo vetorial dado na região considerada.

Exercícios relacionados