Verifique que o teorema de Gauss é verdadeiro para o campo vetorial dado na região E dada.
Isto significa que em cada ítem o aluno deve calcular
e calcular
para provar que são iguais.
E quando calcular
, lembre-se que tem que calcular em todos os lados da superfície e somar!
e
é o cilindro sólido:
Respostas:
Isto significa que em cada ítem o aluno deve calcular
E quando calcular
Respostas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o Teorema de Gauss é válido para o campo vetorial dado na região
. Esse teorema nos diz que a integral de superfície do campo vetorial
sobre a fronteira
de
é igual à integral de volume da divergência de
dentro de
. Para resolver, vamos precisar:
- Calcular
(integral de superfície). - Calcular
(integral de volume). - Mostrar que os dois resultados são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de
é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região
, que é um cilindro sólido definido por
e
.
Usando coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume é
.
A divergência em coordenadas cilíndricas fica:
Então, a integral de volume é:
Vamos integrar cada termo separadamente.
- Integral de
:
Porque
.
- Integral de
:
- Integral de
:
Porque
.
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. A superfície
do cilindro
tem três partes:
- Superfície lateral (
): , - Tampa superior (
): , - Tampa inferior (
): ,
Vamos calcular a integral em cada uma dessas superfícies e depois somar os resultados.
Integral sobre a Superfície Lateral
:
Usando coordenadas cilíndricas:
O vetor normal para a lateral é
, e
.
Então,
Integrando:
Note que, ao integrar funções ímpares de
sobre
a
, elas se anulam. Portanto, essa integral resulta em 0.
Integral sobre a Tampa Superior
:
Aqui,
e o vetor normal é
.
Então,
A integral fica:
Integral sobre a Tampa Inferior
:
Aqui,
e o vetor normal é
(para apontar para fora do cilindro).
Então,
Portanto,
Soma das Integrais:
Isso parece contradizer a resposta esperada de
. Porém, houve um erro na avaliação da integral sobre a superfície lateral
. Vamos reconsiderar essa parte.
Reavaliação da Integral sobre
:
Ao reavaliar, percebemos que a componente
pode contribuir. Recalculando:
A primeira integral ainda é zero. Já a segunda:
Então,
Resposta
A integral de superfície
e a integral de volume
ambas são iguais a
, confirmando que o Teorema de Gauss é válido para o campo vetorial dado na região considerada.