TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA TÉRMICA - Um certo objeto de massa e calor específico possui temperatura inicial . Ele está exposto ao ambiente, que por sua vez possui temperatura . O objeto se resfria através de processos complexos e a lei que governa tal resfriamento é dada por , em que corresponde à área superficial do objeto e à temperatura num instante ( também é uma constante). b) Cheque sua resposta nos casos e e discuta fisicamente.

Passo 1

Então, a gente tem um objeto com massa e calor específico que começa com uma temperatura inicial . Esse objeto está no meio ambiente que tem uma temperatura . A maneira como o objeto se esfria é descrita pela equação , onde é a área superficial do objeto e é uma constante. O que a gente precisa fazer aqui é verificar como a temperatura do objeto se comporta nos momentos iniciais ( ) e quando o tempo vai para o infinito ( ), e depois discutir o que isso significa fisicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: . Essa é a taxa de transferência de calor do objeto para o ambiente. Para encontrar como a temperatura varia com o tempo, a gente precisa relacionar essa equação com a capacidade térmica do objeto.
A capacidade térmica do objeto é dada por , onde é a massa e é o calor específico. A variação de calor também pode ser expressa como .
Então, podemos reescrever . Igualando as duas expressões para :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial:
Integrando os dois lados, temos:
A integral do lado esquerdo é:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial :
Então, a solução geral fica:
Resolvendo para :
Finalmente, isolamos :

Passo 4

Agora que temos a expressão para , vamos verificar os casos pedidos:
  1. Quando :
Isso faz sentido porque no instante inicial, a temperatura do objeto �� exatamente .
  1. Quando :
Olhemos para a expressão:
À medida que aumenta, o termo cresce sem limite, fazendo com que se torne muito negativo. Então, o termo se aproxima de zero:
Isso significa que, com o tempo passando, a temperatura do objeto se aproxima da temperatura do ambiente .

Resposta

No instante inicial ( ), a temperatura do objeto é , confirmando que começa na temperatura inicial. Conforme o tempo tende ao infinito ( ), a temperatura do objeto se aproxima de , a temperatura do ambiente. Fisicamente, isso mostra que o objeto esfria gradualmente até igualar-se à temperatura ambiente à medida que o calor é transferido para o ambiente.

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