TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA TÉRMICA - Um certo objeto de massa
e calor específico
possui temperatura inicial
. Ele está exposto ao ambiente, que por sua vez possui temperatura
. O objeto se resfria através de processos complexos e a lei que governa tal resfriamento é dada por
, em que
corresponde à área superficial do objeto e
à temperatura num instante
(
também é uma constante). b) Cheque sua resposta nos casos
e
e discuta fisicamente.
Passo 1
Então, a gente tem um objeto com massa
e calor específico
que começa com uma temperatura inicial
. Esse objeto está no meio ambiente que tem uma temperatura
. A maneira como o objeto se esfria é descrita pela equação
, onde
é a área superficial do objeto e
é uma constante. O que a gente precisa fazer aqui é verificar como a temperatura do objeto se comporta nos momentos iniciais (
) e quando o tempo vai para o infinito (
), e depois discutir o que isso significa fisicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
. Essa é a taxa de transferência de calor do objeto para o ambiente. Para encontrar como a temperatura
varia com o tempo, a gente precisa relacionar essa equação com a capacidade térmica do objeto.
A capacidade térmica
do objeto é dada por
, onde
é a massa e
é o calor específico. A variação de calor
também pode ser expressa como
.
Então, podemos reescrever
. Igualando as duas expressões para
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial:
Integrando os dois lados, temos:
A integral do lado esquerdo é:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial
:
Então, a solução geral fica:
Resolvendo para
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 4
Agora que temos a expressão para
, vamos verificar os casos pedidos:
- Quando
:
Isso faz sentido porque no instante inicial, a temperatura do objeto �� exatamente
.
- Quando
:
Olhemos para a expressão:
À medida que
aumenta, o termo
cresce sem limite, fazendo com que
se torne muito negativo. Então, o termo
se aproxima de zero:
Isso significa que, com o tempo passando, a temperatura do objeto se aproxima da temperatura do ambiente
.
Resposta
No instante inicial (
), a temperatura do objeto é
, confirmando que começa na temperatura inicial. Conforme o tempo tende ao infinito (
), a temperatura do objeto se aproxima de
, a temperatura do ambiente. Fisicamente, isso mostra que o objeto esfria gradualmente até igualar-se à temperatura ambiente à medida que o calor é transferido para o ambiente.