TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA TÉRMICA - Um certo objeto de massa m e calor específico c possui temperatura inicial T1. Ele está exposto ao ambiente, que por sua vez possui temperatura T0. O objeto se resfria através de processos complexos e a lei que governa tal resfriamento é dada por d Qd t=varepsilon A(T-T0)^2, em que A corresponde à área superficial do objeto e T à temperatura num instante t ( varepsilon também é uma constante). b) Cheque sua resposta nos casos T(t=0) e T(t=infty) e discuta fisicamente.

Passo 1

Então, a gente tem um objeto com massa e calor específico que começa com uma temperatura inicial . Esse objeto está no meio ambiente que tem uma temperatura . A maneira como o objeto se esfria é descrita pela equação , onde é a área superficial do objeto e é uma constante. O que a gente precisa fazer aqui é verificar como a temperatura do objeto se comporta nos momentos iniciais ( ) e quando o tempo vai para o infinito ( ), e depois discutir o que isso significa fisicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: C dTdt = varepsilon A (T - T0)^2 . Essa é a taxa de transferência de calor do objeto para o ambiente. Para encontrar como a temperatura varia com o tempo, a gente precisa relacionar essa equação com a capacidade térmica do objeto.
A capacidade térmica do objeto é dada por , onde é a massa e é o calor específico. A variação de calor também pode ser expressa como .
Então, podemos reescrever . Igualando as duas expressões para :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial:
dT(T - T0)^2 = varepsilon AC dt
Integrando os dois lados, temos:
integral dT(T - T0)^2 = integral varepsilon AC dt
A integral do lado esquerdo é:
- 1T - T0 = varepsilon AC t + K
Onde - 1T1 - T0 = K é a constante de integração. Para encontrar - 1T - T0 = varepsilon AC t - 1T1 - T0 , usamos a condição inicial 1T - T0 = 1T1 - T0 - varepsilon AC t :
T(t) = T0 + 11T1 - T0 - varepsilon AC t
Então, a solução geral fica:
Resolvendo para :
Finalmente, isolamos :

Passo 4

Agora que temos a expressão para T(0) = T0 + 11T1 - T0 - 0 = T0 + (T1 - T0) = T1 , vamos verificar os casos pedidos:
  1. Quando T(t) = T0 + 11T1 - T0 - varepsilon AC t :
T(t) approx T0
Isso faz sentido porque no instante inicial, a temperatura do objeto �� exatamente .
  1. Quando :
Olhemos para a expressão:
À medida que aumenta, o termo cresce sem limite, fazendo com que se torne muito negativo. Então, o termo se aproxima de zero:
Isso significa que, com o tempo passando, a temperatura do objeto se aproxima da temperatura do ambiente .

Resposta

No instante inicial ( ), a temperatura do objeto é , confirmando que começa na temperatura inicial. Conforme o tempo tende ao infinito ( ), a temperatura do objeto se aproxima de , a temperatura do ambiente. Fisicamente, isso mostra que o objeto esfria gradualmente até igualar-se à temperatura ambiente à medida que o calor é transferido para o ambiente.

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