TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA TÉRMICA - Um certo objeto de massa
e calor específico
possui temperatura inicial
. Ele está exposto ao ambiente, que por sua vez possui temperatura
. O objeto se resfria através de processos complexos e a lei que governa tal resfriamento é dada por
, em que
corresponde à área superficial do objeto e
à temperatura num instante
(
também é uma constante). c) Esboce duas curvas (no mesmo sistema de eixos) da função
para dois objetos de massas e calor específicos iguais, porém com áreas
e
(explicite seus cálculos).
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto com massa
e calor específico
, inicialmente na temperatura
. Esse objeto está exposto a um ambiente com temperatura
. A maneira como ele esfria é descrita pela lei
. Aqui,
é a área superficial do objeto e
é uma constante.
Para resolver a parte c) do exercício, precisamos esboçar duas curvas da função
para dois objetos com a mesma massa e calor específico, mas com áreas diferentes
e
(onde
). Vamos precisar aplicar conhecimentos de transferência de calor e resolver uma equação diferencial para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a resolução. Sabemos que a quantidade de calor
armazenada em um objeto é dada por:
Portanto, a taxa de variação desse calor em relação ao tempo é:
De acordo com a lei dada:
Vamos reorganizar para isolar
:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial que descreve como a temperatura
varia com o tempo
. Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis
e
:
Vamos integrar os dois lados da equação. A integração do lado esquerdo será em relação a
e do lado direito em relação a
:
A integral de
em relação a
é:
E a integral do lado direito é:
Igualando as duas integrais:
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Onde
é uma constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial. Quando
,
:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Vamos agora isolar
:
Invertendo os dois lados para resolver para
:
Finalmente, temos a expressão para
:
Passo 6
Agora que temos a expressão para
, vamos analisar como a área
afeta a temperatura ao longo do tempo. Observe que a taxa de resfriamento depende diretamente de
. Para dois objetos com áreas
e
sendo
, a taxa de resfriamento será maior para o objeto com área
.
Isso significa que, para o mesmo tempo
, a temperatura
do objeto com área maior
será menor comparada ao objeto com área
.
Passo 7
Vamos esboçar as duas curvas de
no mesmo sistema de eixos. As curvas representarão como a temperatura dos objetos diminui ao longo do tempo. A curva correspondente ao objeto com área
será mais inclinada, indicando um resfriamento mais rápido, enquanto a curva com área
será menos inclinada.
Aqui está um esboço simplificado:
T(t)
|
| * (A')
| *
| *
| *
| *
| *
| * (A)
|____________________ t
Resposta
As duas curvas de
mostram que o objeto com área
(maior área) esfria mais rapidamente que o objeto com área
. Isso ocorre porque uma maior área facilita a transferência de calor para o ambiente, resultando em uma queda de temperatura mais acentuada ao longo do tempo.