TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA TÉRMICA - Um certo objeto de massa m e calor específico c possui temperatura inicial T1. Ele está exposto ao ambiente, que por sua vez possui temperatura T0. O objeto se resfria através de processos complexos e a lei que governa tal resfriamento é dada por d Qd t=varepsilon A(T-T0)^2, em que A corresponde à área superficial do objeto e T à temperatura num instante t ( varepsilon também é uma constante). c) Esboce duas curvas (no mesmo sistema de eixos) da função T(t) para dois objetos de massas e calor específicos iguais, porém com áreas A^prime e A(A^prime>A) (explicite seus cálculos).

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto com massa e calor específico , inicialmente na temperatura . Esse objeto está exposto a um ambiente com temperatura . A maneira como ele esfria é descrita pela lei . Aqui, é a área superficial do objeto e é uma constante.
Para resolver a parte c) do exercício, precisamos esboçar duas curvas da função para dois objetos com a mesma massa e calor específico, mas com áreas diferentes e (onde ). Vamos precisar aplicar conhecimentos de transferência de calor e resolver uma equação diferencial para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a resolução. Sabemos que a quantidade de calor Q = m cdot c cdot (T - T0) armazenada em um objeto é dada por:
dQdt = m cdot c cdot dTdt
Portanto, a taxa de variação desse calor em relação ao tempo é:
m cdot c cdot dTdt = varepsilon A (T - T0)^2
De acordo com a lei dada:
dTdt = varepsilon Am cdot c (T - T0)^2
Vamos reorganizar para isolar :

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial que descreve como a temperatura dT(T - T0)^2 = varepsilon Am cdot c dt varia com o tempo integral dT(T - T0)^2 = integral varepsilon Am cdot c dt . Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis -1T - T0 + C e varepsilon Am cdot c t + C :
-1T - T0 = varepsilon Am cdot c t + C
Vamos integrar os dois lados da equação. A integração do lado esquerdo será em relação a e do lado direito em relação a :
A integral de em relação a é:
E a integral do lado direito é:
Igualando as duas integrais:

Passo 4

Vamos resolver para 1T - T0 = -varepsilon Am cdot c t + C' . Primeiro, isolamos 1T1 - T0 = C' :
1T - T0 = -varepsilon Am cdot c t + 1T1 - T0
Onde é uma constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial. Quando , :
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Vamos agora isolar 1T - T0 = 1T1 - T0 - varepsilon Am cdot c t :
T - T0 = 11T1 - T0 - varepsilon Am cdot c t
Invertendo os dois lados para resolver para T(t) = T0 + 11T1 - T0 - varepsilon Am cdot c t :
Finalmente, temos a expressão para :

Passo 6

Agora que temos a expressão para , vamos analisar como a área afeta a temperatura ao longo do tempo. Observe que a taxa de resfriamento depende diretamente de . Para dois objetos com áreas e sendo , a taxa de resfriamento será maior para o objeto com área .
Isso significa que, para o mesmo tempo , a temperatura do objeto com área maior será menor comparada ao objeto com área .

Passo 7

Vamos esboçar as duas curvas de no mesmo sistema de eixos. As curvas representarão como a temperatura dos objetos diminui ao longo do tempo. A curva correspondente ao objeto com área será mais inclinada, indicando um resfriamento mais rápido, enquanto a curva com área será menos inclinada.
Aqui está um esboço simplificado:
T(t)
|
|          * (A')
|         *
|        *
|       *
|      *
|     *
|    * (A)
|____________________ t

Resposta

As duas curvas de mostram que o objeto com área (maior área) esfria mais rapidamente que o objeto com área . Isso ocorre porque uma maior área facilita a transferência de calor para o ambiente, resultando em uma queda de temperatura mais acentuada ao longo do tempo.

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