Quais das transformações abaixo são lineares?
(g) T: C([a, b], R) longrightarrow R, T(f)=integrala^b f(x) d x.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta se a transformação , definida por , é linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares da álgebra linear. Precisamos verificar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer funções e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Seja T(f + g) = integrala^b (f(x) + g(x)) , dx = integrala^b f(x) , dx + integrala^b g(x) , dx = T(f) + T(g) e duas funções contínuas em . Aplicando na soma dessas funções:
Portanto, a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(c cdot f) = integrala^b c cdot f(x) , dx = c cdot integrala^b f(x) , dx = c cdot T(f) um escalar e uma função em . Aplicando na função multiplicada por :
Assim, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

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