Quais das transformações abaixo são lineares?
(g)
.
(g)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta se a transformação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares da álgebra linear. Precisamos verificar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer funções
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 3
Vamos verificar a aditividade. Seja
e
duas funções contínuas em
. Aplicando
na soma dessas funções:
Portanto, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
uma função em
. Aplicando
na função multiplicada por
:
Assim, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.