Esboce o gráfico das seguintes funções: f(x) = { x² - 2x se x ≥ 1; 1 - x se x < 1 }
d) f(x) = {-x² + 1 se x < 1; (x - 2)² - 1 se x ≥ 1}
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte d) do exercício onde precisamos esboçar o gráfico de uma função definida por partes. A função que vamos trabalhar é:
Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se juntam no ponto onde a definição muda, que é em .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função onde :
Essa é uma função quadrática, que geralmente representa uma parábola. O coeficiente de é negativo, o que significa que a parábola abre para baixo. O termo constante indica que o vértice da parábola está em .
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte da função onde :
Essa também é uma função quadrática, mas aqui o coeficiente de é positivo, então a parábola abre para cima. O termo mostra que a parábola está transladada 2 unidades para a direita, e o indica que todo o gráfico é baixado 1 unidade.
Passo 4
Vamos determinar os pontos-chave de cada parte para facilitar o esboço:
Para :
Vértice em porque quando , .
Diremos que a parábola desce à medida que se afasta de 0.
Para :
Vértice em .
A parábola sobe à medida que se afasta de 2.
Passo 5
Vamos verificar a continuidade no ponto para ver se a função é contínua nesse ponto:
Calculando na primeira parte:
Calculando na segunda parte:
Como os dois valores são iguais, a função é contínua em .
Passo 6
Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
Para :
Desenhe uma parábola que abre para baixo com vértice em .
Trace a parábola apenas até , onde .
Para :
Desenhe uma parábola que abre para cima com vértice em .
Comece o desenho a partir de , onde .
Ponto de continuidade:
Em , marque o ponto onde as duas parábolas se encontram.
Resposta
O gráfico da função é composto por duas parábolas conectadas no ponto :
Para , uma parábola que abre para baixo com vértice em .
Para , uma parábola que abre para cima com vértice em .
Ambas as partes se encontram de forma contínua no ponto , formando assim o esboço completo da função.