Um trem com aceleração máxima
e desaceleração máxima
(módulo da aceleração de freamento) em repouso na estação
, parte do repouso e acelera uniformemente até atingir uma certa velocidade. Em seguida, mantém essa mesma velocidade por um certo tempo, até atingir um certo ponto
, e a partir desse ponto ele freia com a desaceleração máxima
até parar na estação
. Sabendo que a distância entre as estações
e
é
, calcule a velocidade com que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo e quais tópicos vamos usar para resolver.
Resumo da Questão:
Um trem parte da estação A, que está parada, e acelera uniformemente até atingir uma certa velocidade. Depois, ele mantém essa velocidade por um tempo até chegar num ponto X. A partir de X, o trem começa a frear com uma desaceleração máxima até parar na estação B. Sabemos que a distância total entre A e B é $ d $, e queremos descobrir qual é a velocidade que o trem tem quando passa pelo ponto X.
Um trem parte da estação A, que está parada, e acelera uniformemente até atingir uma certa velocidade. Depois, ele mantém essa velocidade por um tempo até chegar num ponto X. A partir de X, o trem começa a frear com uma desaceleração máxima até parar na estação B. Sabemos que a distância total entre A e B é $ d $, e queremos descobrir qual é a velocidade que o trem tem quando passa pelo ponto X.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com cinemática, especificamente com movimentos que envolvem aceleração e desaceleração uniformes.
Vamos trabalhar com cinemática, especificamente com movimentos que envolvem aceleração e desaceleração uniformes.
O que vamos precisar:
- Fórmulas de movimento uniformemente acelerado.
- Entender como calcular distâncias em diferentes fases do movimento (aceleração, velocidade constante e desaceleração).
Passo 2
Vamos começar dividindo o trajeto do trem em três partes:
- Aceleração: O trem parte do repouso e acelera até a velocidade $ v $.
- Velocidade constante: Depois de atingir $ v $, ele continua nessa velocidade até o ponto X.
- Desaceleração: A partir do ponto X, ele desacelera até parar na estação B.
Como queremos encontrar a velocidade $ v $ no ponto X, vamos relacionar as distâncias percorridas em cada fase com a distância total $ d $.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a distância que o trem percorre durante a aceleração.
Quando um objeto parte do repouso e acelera uniformemente, a distância percorrida $ s_1 $ pode ser calculada pela fórmula:
Aqui, $ a $ é a aceleração máxima do trem.
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância que o trem percorre durante a desaceleração.
Quando o trem está freando uniformemente até parar, a distância percorrida $ s_3 $ é dada por:
Nesse caso, $ f $ é a desaceleração máxima (lembrando que $ f $ é positivo, já que estamos considerando apenas o módulo da aceleração).
Passo 5
A distância total $ d $ entre as estações A e B é a soma das distâncias das três fases:
Onde:
- $ s_1 = \frac{v^2}{2a} $ (distância de aceleração)
- $ s_3 = \frac{v^2}{2f} $ (distância de desaceleração)
- $ s_2 $ é a distância percorrida na velocidade constante $ v $
Passo 6
Porém, a gente não precisa se preocupar com $ s_2 $ diretamente, porque queremos expressar tudo em termos de $ d $, $ a $ e $ f $. Então, podemos reescrever a equação da distância total substituindo $ s_1 $ e $ s_3 $:
Mas como não temos nenhuma informação sobre $ s_2 $, e nosso objetivo é encontrar $ v $, podemos considerar que a soma das distâncias de aceleração e desaceleração será parte da distância total $ d $.
Passo 7
Assumindo que $ s_2 $ é a distância durante a velocidade constante, vamos reorganizar para isolar $ s_2 $:
Mas como queremos eliminar $ s_2 $, podemos focar na soma das outras distâncias:
Passo 8
Agora, vamos somar as duas frações:
Passo 9
Isolando $ v^2 $:
Passo 10
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v $:
Resposta
A velocidade com que o trem passa pelo ponto $ X $ é: