Um trem com aceleração máxima a e desaceleração máxima f (módulo da aceleração de freamento) em repouso na estação A, parte do repouso e acelera uniformemente até atingir uma certa velocidade. Em seguida, mantém essa mesma velocidade por um certo tempo, até atingir um certo ponto X, e a partir desse ponto ele freia com a desaceleração máxima f até parar na estação B. Sabendo que a distância entre as estações A e B é d, calcule a velocidade com que passa pelo ponto X.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo e quais tópicos vamos usar para resolver.
Resumo da Questão:
Um trem parte da estação A, que está parada, e acelera uniformemente até atingir uma certa velocidade. Depois, ele mantém essa velocidade por um tempo até chegar num ponto X. A partir de X, o trem começa a frear com uma desaceleração máxima até parar na estação B. Sabemos que a distância total entre A e B é $ d $, e queremos descobrir qual é a velocidade que o trem tem quando passa pelo ponto X.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com cinemática, especificamente com movimentos que envolvem aceleração e desaceleração uniformes.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas de movimento uniformemente acelerado.
  • Entender como calcular distâncias em diferentes fases do movimento (aceleração, velocidade constante e desaceleração).

Passo 2

Vamos começar dividindo o trajeto do trem em três partes:
  1. Aceleração: O trem parte do repouso e acelera até a velocidade $ v $.
  2. Velocidade constante: Depois de atingir $ v $, ele continua nessa velocidade até o ponto X.
  3. Desaceleração: A partir do ponto X, ele desacelera até parar na estação B.
Como queremos encontrar a velocidade $ v $ no ponto X, vamos relacionar as distâncias percorridas em cada fase com a distância total $ d $.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a distância que o trem percorre durante a aceleração.
Quando um objeto parte do repouso e acelera uniformemente, a distância percorrida $ s_1 $ pode ser calculada pela fórmula:
s1
Aqui, $ a $ é a aceleração máxima do trem.

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância que o trem percorre durante a desaceleração.
Quando o trem está freando uniformemente até parar, a distância percorrida $ s_3 $ é dada por:
s3
Nesse caso, $ f $ é a desaceleração máxima (lembrando que $ f $ é positivo, já que estamos considerando apenas o módulo da aceleração).

Passo 5

A distância total $ d $ entre as estações A e B é a soma das distâncias das três fases:
d
Onde:
  • $ s_1 = \frac{v^2}{2a} $ (distância de aceleração)
  • $ s_3 = \frac{v^2}{2f} $ (distância de desaceleração)
  • $ s_2 $ é a distância percorrida na velocidade constante $ v $

Passo 6

Porém, a gente não precisa se preocupar com $ s_2 $ diretamente, porque queremos expressar tudo em termos de $ d $, $ a $ e $ f $. Então, podemos reescrever a equação da distância total substituindo $ s_1 $ e $ s_3 $:
s2
Mas como não temos nenhuma informação sobre $ s_2 $, e nosso objetivo é encontrar $ v $, podemos considerar que a soma das distâncias de aceleração e desaceleração será parte da distância total $ d $.

Passo 7

Assumindo que $ s_2 $ é a distância durante a velocidade constante, vamos reorganizar para isolar $ s_2 $:
s2
Mas como queremos eliminar $ s_2 $, podemos focar na soma das outras distâncias:
s2

Passo 8

Agora, vamos somar as duas frações:
d = v^2 ( 12a + 12f ) = v^2 ( f + a2af )

Passo 9

Isolando $ v^2 $:
v^2

Passo 10

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v $:
v

Resposta

A velocidade com que o trem passa pelo ponto $ X $ é:
X

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