(a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações diminua para um terço do valor inicial.
(b) Qual a energia perdida nesse intervalo de tempo?
© Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo? Considere o amortecimento pequeno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre oscilações amortecidas, que faz parte da matéria de Física, mais especificamente de Movimento Oscilatório. A gente vai precisar entender como a amplitude das oscilações diminui com o tempo devido ao amortecimento, calcular a energia perdida nesse processo e descobrir quantas oscilações o bloco faz nesse intervalo de tempo. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a amplitude diminui com o tempo. Em oscilações amortecidas, a amplitude $ A(t) $ diminui exponencialmente com o tempo, e isso pode ser descrito pela fórmula:
A(t)
Aqui, $ A_0 $ é a amplitude inicial e $ \gamma $ é a constante de amortecimento. Nosso objetivo é encontrar o tempo $ t $ necessário para que a amplitude diminua para um terço do valor inicial, ou seja, $ A(t) = \frac{1}{3} A_0 $.

Passo 3

Vamos igualar a expressão da amplitude a um terço da amplitude inicial:
13 A0 = A0 e^-gamma t
Agora, dividimos os dois lados por $ A_0 $:
A0
Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
13 = e^-gamma t
Agora, isolamos $ t $:
t
Como $ \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3) $, podemos simplificar:
ln(13) = -gamma t

Passo 4

Agora que temos o tempo necessário para a amplitude diminuir para um terço do valor inicial, vamos calcular a energia perdida nesse intervalo de tempo. A energia $ E $ em um oscilador harmônico é proporcional ao quadrado da amplitude:
E
Onde $ k $ é a constante da mola. A energia inicial é:
E(t) = 12 k A(t)^2
A energia após o tempo $ t $ é:
k
Portanto, a energia perdida é:
E0 = 12 k A0^2

Passo 5

Por último, vamos determinar quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo $ t $. A frequência angular $ \omega $ das oscilações é dada por:
t
A frequência $ f $ é relacionada à frequência angular por:
omega
O período $ T $ das oscilações é:
omega = raizkm
O número de oscilações $ N $ realizadas no tempo $ t $ é:
f
Substituindo $ t $ da Passo 3:
f = omega2pi = 12pi raizkm

Resposta

(a) O tempo necessário para que a amplitude diminua para um terço do valor inicial é $ t = \dfrac{\ln(3)}{\gamma} $.
(b) A energia perdida nesse intervalo de tempo é $ \Delta E = \dfrac{8}{9} E_0 $.
© O número de oscilações realizadas nesse intervalo de tempo é $ N = \dfrac{\ln(3)}{2\pi \gamma} \sqrt{\dfrac{k}{m}} $.

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