Um avião, fazendo um mergulho sob um ângulo de 60^circ com a vertical, larga um projétil de uma altitude de 800 m . O projétil atinge o solo depois de 5,0 s. Quais eram as componentes horizontal e vertical da velocidade do projétil imediatamente antes de ele atingir o solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um avião que está descendo num ângulo de 60^circ em relação à vertical e solta um projétil de uma altitude de 800 metros. Esse projétil toca o chão depois de 5 segundos. A gente precisa descobrir quais eram as componentes horizontal e vertical da velocidade do projétil imediatamente antes de ele atingir o solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis, que envolve separar a velocidade em suas componentes horizontal e vertical. Vamos precisar lembrar das equações de movimento uniformemente acelerado para a vertical e movimento retilíneo uniforme para a horizontal (já que não tem aceleração na horizontal se ignorarmos o atrito do ar).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da velocidade inicial do projétil quando ele foi solto. O avião desce num ângulo de 60^circ com a vertical, o que significa que a direção do movimento do avião forma 60^circ com a vertical.
A componente vertical da velocidade inicial ( vy0) é:
vy0 = v0 cos(60^circ)
E a componente horizontal da velocidade inicial ( vx0) é:
vx0 = v0 sin(60^circ)
Mas como não conhecemos v0, vamos precisar encontrar essa informação usando a altitude e o tempo de queda.

Passo 3

Vamos focar na direção vertical. Sabemos que o projétil cai 800 metros em 5 segundos. Usamos a equação do movimento vertical:
y = vy0 t + 12 g t^2
Aqui, y = -800 m (porque ele desce), g = 9,8 , m/s^2, e t = 5 s. Substituindo:
-800 = vy0 times 5 + 12 times 9,8 times 5^2
Resolvendo para vy0:
-800 = 5 vy0 + 12 times 9,8 times 25
-800 = 5 vy0 + 122,5
5 vy0 = -800 - 122,5
5 vy0 = -922,5
vy0 = -184,5 , m/s

Passo 4

Agora que temos vy0, podemos encontrar a velocidade inicial v0 usando:
vy0 = v0 cos(60^circ)
Substituindo vy0 = -184,5 , m/s:
-184,5 = v0 times cos(60^circ)
-184,5 = v0 times 0,5
v0 = -184,50,5
v0 = -369 , m/s
O sinal negativo indica que a direção é para baixo, o que faz sentido.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a componente horizontal da velocidade. Como não há aceleração na horizontal (menos o atrito do ar, que estamos ignorando), a componente horizontal da velocidade permanece constante durante todo o movimento:
vx = vx0 = v0 sin(60^circ)
Substituindo v0 = -369 , m/s:
vx = -369 times sin(60^circ)
vx = -369 times raiz32
vx approx -369 times 0,866
vx approx -320 , m/s

Passo 6

Finalmente, a componente vertical da velocidade no instante de tocar o solo ( vy) pode ser encontrada usando:
vy = vy0 + g t
Substituindo vy0 = -184,5 , m/s, g = 9,8 , m/s^2, e t = 5 , s:
vy = -184,5 + 9,8 times 5
vy = -184,5 + 49
vy = -135,5 , m/s

Resposta

As componentes da velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo são aproximadamente vx = -320 , m/s na horizontal e vy = -135,5 , m/s na vertical.

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