Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como montar um trem que tem uma locomotiva e seis vagões diferentes, sendo que um desses vagões é restaurante. A locomotiva sempre fica na frente, e o vagão restaurante não pode ficar imediatamente atrás da locomotiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação da matemática combinatória, que trata de organizar elementos em ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que não tem nenhuma restrição. A locomotiva já está fixada na frente, então precisamos organizar os 6 vagões. Como eles são todos diferentes, o número de maneiras de organizar esses 6 vagões é dado por 6 fatorial, que em matemática escrevemos como 6!.
Calculando:
6! = 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 720
Então, sem restrições, há 720 formas de organizar os vagões.

Passo 3

Agora, temos uma restrição: o vagão restaurante não pode ficar imediatamente atrás da locomotiva. Vamos calcular quantas dessas 720 arrumações violam essa regra, ou seja, quantas têm o vagão restaurante logo após a locomotiva.
Se fixarmos o vagão restaurante na primeira posição após a locomotiva, então os outros 5 vagões podem ser organizados livremente. O número de maneiras de organizar esses 5 vagões é 5!:
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
Então, há 120 formas que não são permitidas porque têm o restaurante logo após a locomotiva.

Passo 4

Para encontrar o número total de arrumações que satisfazem a condição do exercício, basta subtrair as arrumações proibidas das arrumações totais:
Total válido = 6! - 5! = 720 - 120 = 600 á

Resposta

Existem 600 modos diferentes de montar a composição do trem respeitando as condições dadas.

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