Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como montar um trem que tem uma locomotiva e seis vagões diferentes, sendo que um desses vagões é restaurante. A locomotiva sempre fica na frente, e o vagão restaurante não pode ficar imediatamente atrás da locomotiva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação da matemática combinatória, que trata de organizar elementos em ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que não tem nenhuma restrição. A locomotiva já está fixada na frente, então precisamos organizar os 6 vagões. Como eles são todos diferentes, o número de maneiras de organizar esses 6 vagões é dado por 6 fatorial, que em matemática escrevemos como
.
Calculando:
Então, sem restrições, há 720 formas de organizar os vagões.
Passo 3
Agora, temos uma restrição: o vagão restaurante não pode ficar imediatamente atrás da locomotiva. Vamos calcular quantas dessas 720 arrumações violam essa regra, ou seja, quantas têm o vagão restaurante logo após a locomotiva.
Se fixarmos o vagão restaurante na primeira posição após a locomotiva, então os outros 5 vagões podem ser organizados livremente. O número de maneiras de organizar esses 5 vagões é
:
Então, há 120 formas que não são permitidas porque têm o restaurante logo após a locomotiva.
Passo 4
Para encontrar o número total de arrumações que satisfazem a condição do exercício, basta subtrair as arrumações proibidas das arrumações totais:
Resposta
Existem 600 modos diferentes de montar a composição do trem respeitando as condições dadas.