Três amigos, um dos quais tinha um macaco, compraram uma caixa de biscoitos e decidiram repartir os biscoitos na manhã seguinte. Durante a noite o primeiro deles acordou e dividiu os biscoitos em três partes iguais, restando um biscoito que ele deu ao macaco; ele comeu sua parte, devolveu o restante à caixa e foi dormir. Mais tarde o segundo amigo acordou e, sem saber que alguns dos biscoitos haviam sido retirados, dividiu os biscoitos em três partes iguais, restando um biscoito após a divisão, o qual ele deu ao macaco; ele comeu uma das três partes, devolveu o restante à caixa e foi dormir. O mesmo aconteceu com o terceiro amigo.
De manhã, os três amigos dividiram os biscoitos restantes na caixa em três partes, de novo restando um biscoito que foi dado ao macaco. Determine o número mínimo de biscoitos originalmente na caixa para que tal divisão seja possível. (Assuma que todas as divisões resultam em um número inteiro de biscoitos.)
De manhã, os três amigos dividiram os biscoitos restantes na caixa em três partes, de novo restando um biscoito que foi dado ao macaco. Determine o número mínimo de biscoitos originalmente na caixa para que tal divisão seja possível. (Assuma que todas as divisões resultam em um número inteiro de biscoitos.)
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos três amigos que, durante a noite, dividem uma caixa de biscoitos de forma que a cada divisão eles dividem os biscoitos em três partes iguais, dão um biscoito ao macaco e devolvem os restantes à caixa. Isso acontece três vezes à noite, uma para cada amigo. De manhã, os três amigos dividem novamente os biscoitos na caixa seguindo a mesma regra. Nosso objetivo é encontrar o número mínimo de biscoitos que estavam originalmente na caixa para que todas essas divisões sejam possíveis, ou seja, que em cada divisão o número de biscoitos divididos por três deixe exatamente um restante para o macaco.
Temos três amigos que, durante a noite, dividem uma caixa de biscoitos de forma que a cada divisão eles dividem os biscoitos em três partes iguais, dão um biscoito ao macaco e devolvem os restantes à caixa. Isso acontece três vezes à noite, uma para cada amigo. De manhã, os três amigos dividem novamente os biscoitos na caixa seguindo a mesma regra. Nosso objetivo é encontrar o número mínimo de biscoitos que estavam originalmente na caixa para que todas essas divisões sejam possíveis, ou seja, que em cada divisão o número de biscoitos divididos por três deixe exatamente um restante para o macaco.
Passo 2
Primeira divisão (primeiro amigo):
Vamos chamar o número inicial de biscoitos de .
Quando o primeiro amigo divide os biscoitos:
Vamos chamar o número inicial de biscoitos de
Quando o primeiro amigo divide os biscoitos:
Aqui,
representa as três partes iguais e
é o biscoito dado ao macaco.
Depois de comer sua parte ( ), ele devolve
biscoitos à caixa.
Depois de comer sua parte (
Passo 3
Segunda divisão (segundo amigo):
Agora, a caixa tem biscoitos.
O segundo amigo divide:
Agora, a caixa tem
O segundo amigo divide:
Novamente,
são as partes iguais e
é para o macaco.
Ele come biscoitos e devolve
à caixa.
Ele come
Passo 4
Terceira divisão (terceiro amigo):
A caixa agora tem biscoitos.
O terceiro amigo divide:
A caixa agora tem
O terceiro amigo divide:
Dessa divisão, ele come
biscoitos e devolve
à caixa.
Passo 5
Divisão da manhã:
Na manhã seguinte, os três amigos dividem os biscoitos restantes:
Na manhã seguinte, os três amigos dividem os
Eles dão
biscoito ao macaco e cada um pega
biscoitos.
Passo 6
Encontrando as relações entre as variáveis:
Vamos expressar todas as variáveis em termos de :
Vamos expressar todas as variáveis em termos de
-
De
, temos: Paraser inteiro, deve ser múltiplo de 3: Assim,, onde é um número inteiro não negativo. -
De
, substituindo : Paraser inteiro, deve ser par, o que ocorre quando é ímpar. Portanto, deve ser escolhido de forma que seja divisível por 2. -
De
, substituindo : Paraser inteiro, deve ser divisível por 4. -
De
, substituindo : Paraser inteiro, deve ser divisível por 4.
Passo 7
Encontrando o menor valor de
:
Precisamos encontrar o menor inteiro tal que
seja divisível por 4.
Precisamos encontrar o menor inteiro
Sabemos que
e
:
Assim, o menor valor de
que satisfaz essa congruência é
.
Passo 8
Calculando
e
:
Resposta
O número mínimo de biscoitos originalmente na caixa é 79.