Três amigos, um dos quais tinha um macaco, compraram uma caixa de biscoitos e decidiram repartir os biscoitos na manhã seguinte. Durante a noite o primeiro deles acordou e dividiu os biscoitos em três partes iguais, restando um biscoito que ele deu ao macaco; ele comeu sua parte, devolveu o restante à caixa e foi dormir. Mais tarde o segundo amigo acordou e, sem saber que alguns dos biscoitos haviam sido retirados, dividiu os biscoitos em três partes iguais, restando um biscoito após a divisão, o qual ele deu ao macaco; ele comeu uma das três partes, devolveu o restante à caixa e foi dormir. O mesmo aconteceu com o terceiro amigo.
De manhã, os três amigos dividiram os biscoitos restantes na caixa em três partes, de novo restando um biscoito que foi dado ao macaco. Determine o número mínimo de biscoitos originalmente na caixa para que tal divisão seja possível. (Assuma que todas as divisões resultam em um número inteiro de biscoitos.)

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos três amigos que, durante a noite, dividem uma caixa de biscoitos de forma que a cada divisão eles dividem os biscoitos em três partes iguais, dão um biscoito ao macaco e devolvem os restantes à caixa. Isso acontece três vezes à noite, uma para cada amigo. De manhã, os três amigos dividem novamente os biscoitos na caixa seguindo a mesma regra. Nosso objetivo é encontrar o número mínimo de biscoitos que estavam originalmente na caixa para que todas essas divisões sejam possíveis, ou seja, que em cada divisão o número de biscoitos divididos por três deixe exatamente um restante para o macaco.

Passo 2

Primeira divisão (primeiro amigo):
Vamos chamar o número inicial de biscoitos de N = 3a + 1 .
Quando o primeiro amigo divide os biscoitos:
Aqui, representa as três partes iguais e é o biscoito dado ao macaco.
Depois de comer sua parte ( ), ele devolve biscoitos à caixa.

Passo 3

Segunda divisão (segundo amigo):
Agora, a caixa tem 2a = 3b + 1 biscoitos.
O segundo amigo divide:
Novamente, são as partes iguais e é para o macaco.
Ele come biscoitos e devolve à caixa.

Passo 4

Terceira divisão (terceiro amigo):
A caixa agora tem 2b = 3c + 1 biscoitos.
O terceiro amigo divide:
Dessa divisão, ele come biscoitos e devolve à caixa.

Passo 5

Divisão da manhã:
Na manhã seguinte, os três amigos dividem os 2c = 3d + 1 biscoitos restantes:
Eles dão biscoito ao macaco e cada um pega biscoitos.

Passo 6

Encontrando as relações entre as variáveis:
Vamos expressar todas as variáveis em termos de d = 2c - 13 :
  1. De 2c - 1 equiv 0 pmod3 Rightarrow 2c equiv 1 pmod3 Rightarrow c equiv 2 pmod3 , temos:
    2b = 3(3k + 2) + 1 = 9k + 7 Rightarrow b = 9k + 72
    Para 2a = 3(9k + 72) + 1 = 27k + 212 + 1 = 27k + 232 Rightarrow a = 27k + 234 ser inteiro, N = 3(27k + 234) + 1 = 81k + 694 + 1 = 81k + 734 deve ser múltiplo de 3:
    Assim, , onde é um número inteiro não negativo.
  2. De , substituindo :
    Para ser inteiro, deve ser par, o que ocorre quando é ímpar. Portanto, deve ser escolhido de forma que seja divisível por 2.
  3. De , substituindo :
    Para ser inteiro, deve ser divisível por 4.
  4. De , substituindo :
    Para ser inteiro, deve ser divisível por 4.

Passo 7

Encontrando o menor valor de 81k + 73 equiv 0 pmod4 :
Precisamos encontrar o menor inteiro 1k + 1 equiv 0 pmod4 Rightarrow k equiv 3 pmod4 tal que seja divisível por 4.
Sabemos que e :
Assim, o menor valor de que satisfaz essa congruência é .

Passo 8

Calculando e :

Resposta

O número mínimo de biscoitos originalmente na caixa é 79.

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