Très cargas pontuais q1=1,00 e, q2=2,00 e e q3=3,00 e são colocadas em sequencia nos vértices de um triângulo equilátero de aresta 2,00 cm. Qual o módulo do campo elétrico na metade da aresta entre as cargas q1 e q2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três cargas pontuais , e dispostas nos vértices de um triângulo equilátero com cada lado medindo . A pergunta é: qual é o módulo do campo elétrico na metade da aresta entre as cargas e ?
Nesse problema, vamos usar conceitos de Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos. Vamos precisar calcular o campo elétrico causado por cada carga no ponto desejado e depois somar esses campos vetorialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o triângulo equilátero e identificar as posições das cargas e do ponto onde queremos calcular o campo elétrico. Considerando o triângulo:
  • está no vértice A.
  • está no vértice B.
  • está no vértice C.
  • O ponto P está na metade da aresta AB.
Como o triângulo é equilátero, todas as arestas têm o mesmo comprimento, .

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico no ponto P devido a cada uma das cargas E = k |q|r^2 , h = raiz32 times 2,00,cm = raiz3,cm e r3 = raizh^2 - (1,00,cm)^2 = raiz3 - 1 = raiz2,cm = 0,01414,m .
A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico causado por uma carga pontual a uma distância é dado por:
onde é a constante eletrostática.
Vamos determinar para cada carga em relação ao ponto P.
  • A distância de a P é (metade de 2,00 cm).
  • A distância de a P também é .
  • A distância de a P não é diretamente uma aresta do triângulo. Como P está no centro da aresta AB, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar . A altura de um triângulo equilátero é , então:
A distância de C a P é então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido a cada carga:
E1 = k q1r1^2 = 8,99 times 10^9 times 1,00(0,01)^2 = 8,99 times 10^13,N/C
E2 = k q2r2^2 = 8,99 times 10^9 times 2,00(0,01)^2 = 1,798 times 10^14,N/C
E3 = k q3r3^2 = 8,99 times 10^9 times 3,00(0,01414)^2 approx 1,351 times 10^14,N/C
Agora, precisamos considerar a direção de cada campo:
  • aponta para longe de (supondo que a carga é positiva).
  • aponta para longe de .
  • aponta para longe de .
Vamos decompor em componentes horizontais e verticais. A componente horizontal se cancelará devido à simetria, e a componente vertical se somará aos demais.

Passo 5

Considerando a simetria, a componente vertical de E3y = E3 times sin(30^circ) = 1,351 times 10^14 times 0,5 = 6,755 times 10^13,N/C será:
Ex = E1 + E2 = 8,99 times 10^13 + 1,798 times 10^14 = 2,697 times 10^14,N/C
Somando as componentes horizontais e verticais:
  • As componentes horizontais de Ey = E3y = 6,755 times 10^13,N/C e Etotal = raizEx^2 + Ey^2 = raiz(2,697 times 10^14)^2 + (6,755 times 10^13)^2 approx 2,734 times 10^14,N/C se somam:
  • A componente vertical de :
Finalmente, o módulo total do campo elétrico é dado por:

Resposta

O módulo do campo elétrico na metade da aresta entre as cargas e é aproximadamente .

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