Très cargas pontuais e são colocadas em sequencia nos vértices de um triângulo equilátero de aresta . Qual o módulo do campo elétrico na metade da aresta entre as cargas e ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três cargas pontuais , e dispostas nos vértices de um triângulo equilátero com cada lado medindo . A pergunta é: qual é o módulo do campo elétrico na metade da aresta entre as cargas e ?
Nesse problema, vamos usar conceitos de Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos. Vamos precisar calcular o campo elétrico causado por cada carga no ponto desejado e depois somar esses campos vetorialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o triângulo equilátero e identificar as posições das cargas e do ponto onde queremos calcular o campo elétrico. Considerando o triângulo:
  • está no vértice A.
  • está no vértice B.
  • está no vértice C.
  • O ponto P está na metade da aresta AB.
Como o triângulo é equilátero, todas as arestas têm o mesmo comprimento, .

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico no ponto P devido a cada uma das cargas , e .
A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico causado por uma carga pontual a uma distância é dado por:
onde é a constante eletrostática.
Vamos determinar para cada carga em relação ao ponto P.
  • A distância de a P é (metade de 2,00 cm).
  • A distância de a P também é .
  • A distância de a P não é diretamente uma aresta do triângulo. Como P está no centro da aresta AB, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar . A altura de um triângulo equilátero é , então:
A distância de C a P é então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido a cada carga:
Agora, precisamos considerar a direção de cada campo:
  • aponta para longe de (supondo que a carga é positiva).
  • aponta para longe de .
  • aponta para longe de .
Vamos decompor em componentes horizontais e verticais. A componente horizontal se cancelará devido à simetria, e a componente vertical se somará aos demais.

Passo 5

Considerando a simetria, a componente vertical de será:
Somando as componentes horizontais e verticais:
  • As componentes horizontais de e se somam:
  • A componente vertical de :
Finalmente, o módulo total do campo elétrico é dado por:

Resposta

O módulo do campo elétrico na metade da aresta entre as cargas e é aproximadamente .

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