Très cargas pontuais q1=50 nC, q2=-60 nC e q3=20 nC estão localizadas nos pontos P1 ( -2 ; 4) m, P2(-3 ; 2) m e P3(3 ;-3) m de um sistema de coordenadas cartesianas. Determine: (a) o módulo, a direcção e o sentido do campo eléctrico (na forma vectorial, e depois determinar o módulo) no ponto A (4; 2) m ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o campo elétrico no ponto A (4; 2) metros, causado por três cargas pontuais: $ q_{1}=50,\mathrm{nC} $, $ q_{2}=-60,\mathrm{nC} $ e $ q_{3}=20,\mathrm{nC} $, localizadas em $ P_{1}(-2; 4) $ m, $ P_{2}(-3; 2) $ m e $ P_{3}(3; -3) $ m, respectivamente. A gente vai usar a teoria de campos elétricos de cargas pontuais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual $ q $ em um ponto no espaço é dado pela fórmula:
q
Onde:
  • $ k = 8,99 \times 10^{9}, \mathrm{N \cdot m{2}/C{2}} $ é a constante de Coulomb.
  • $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo.
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto A.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a distância entre cada carga e o ponto A (4; 2).
Para uma carga no ponto $ (x_i, y_i) $ e o ponto A $ (4, 2) $, a distância $ r $ é:
(xi, yi)
Vamos fazer isso para cada carga:
  • Para $ q_1 (-2; 4) $:
(4, 2)
  • Para $ q_2 (-3; 2) $:
r
  • Para $ q_3 (3; -3) $:
r = raiz(4 - xi)^2 + (2 - yi)^2

Passo 4

Agora, vamos determinar a direção de cada vetor campo elétrico. Lembrando que o campo elétrico aponta na direção que uma carga de teste positiva se moveria:
  • Para $ q_1 = 50,\mathrm{nC} $ (positiva), o campo sai da carga em direção a A.
  • Para $ q_2 = -60,\mathrm{nC} $ (negativa), o campo aponta em direção à carga vindo de A.
  • Para $ q_3 = 20,\mathrm{nC} $ (positiva), o campo sai da carga em direção a A.
Vamos calcular os componentes $ E_x $ e $ E_y $ de cada campo.

Passo 5

Vamos calcular o campo elétrico de cada carga no ponto A usando a fórmula:
E = k cdot qr^2 cdot r
Primeiro, encontramos $ \hat{r} $, que é o vetor unitário na direção de $ r $. Isso é feito dividindo as componentes $ \Delta x $ e $ \Delta y $ pela distância $ r $:
r
Vamos calcular para cada carga:
  • Para $ q_1 = 50,\mathrm{nC} $:
    • $ \Delta x = 4 - (-2) = 6 $
    • $ \Delta y = 2 - 4 = -2 $
    • $ \hat{r}_1 = \left( \frac{6}{6,324}, \frac{-2}{6,324} \right) \approx (0,949, -0,316) $
    • $ E_1 = 8,99 \times 10^{9} \cdot \frac{50 \times 10^{-9}}{40} \approx 11,24 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
    • Component $ E_{1x} = 11,24 \times 10^{3} \cdot 0,949 \approx 10,65 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
    • Component $ E_{1y} = 11,24 \times 10^{3} \cdot (-0,316) \approx -3,56 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
  • Para $ q_2 = -60,\mathrm{nC} $:
    • $ \Delta x = 4 - (-3) = 7 $
    • $ \Delta y = 2 - 2 = 0 $
    • $ \hat{r}_2 = \left( \frac{7}{7}, \frac{0}{7} \right) = (1, 0) $
    • $ E_2 = 8,99 \times 10^{9} \cdot \frac{-60 \times 10^{-9}}{49} \approx -11,03 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
    • Component $ E_{2x} = -11,03 \times 10^{3} \cdot 1 = -11,03 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
    • Component $ E_{2y} = -11,03 \times 10^{3} \cdot 0 = 0, \mathrm{N/C} $
  • Para $ q_3 = 20,\mathrm{nC} $:
    • $ \Delta x = 4 - 3 = 1 $
    • $ \Delta y = 2 - (-3) = 5 $
    • $ \hat{r}_3 = \left( \frac{1}{5,099}, \frac{5}{5,099} \right) \approx (0,196, 0,980) $
    • $ E_3 = 8,99 \times 10^{9} \cdot \frac{20 \times 10^{-9}}{26} \approx 6,92 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
    • Component $ E_{3x} = 6,92 \times 10^{3} \cdot 0,196 \approx 1,36 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
    • Component $ E_{3y} = 6,92 \times 10^{3} \cdot 0,980 \approx 6,78 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $

Passo 6

Agora, vamos somar os componentes dos campos elétricos de cada carga para obter o campo elétrico total no ponto A.
Etotal,x = E1x + E2x + E3x = 10,65 times 10^3 + (-11,03 times 10^3) + 1,36 times 10^3 = 0, N/C
Etotal,y = E1y + E2y + E3y = (-3,56 times 10^3) + 0 + 6,78 times 10^3 = 3,22 times 10^3, N/C

Passo 7

Com os componentes do campo total, podemos escrever o campo elétrico vetorial no ponto A:
Etotal = (0, N/C), i + (3,22 times 10^3, N/C), j = 3,22 times 10^3, j, N/C
Para encontrar o módulo do campo elétrico total, usamos a fórmula:
|E| = raizEx^2 + Ey^2 = raiz0^2 + (3,22 times 10^3)^2 = 3,22 times 10^3, N/C

Resposta

O campo elétrico no ponto A (4; 2) m é:
Etotal = 3,22 times 10^3, j, N/C
E o módulo do campo elétrico é:
|E| = 3,22 times 10^3, N/C

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