Très cargas pontuais
e
estão localizadas nos pontos
( -2 ; 4)
de um sistema de coordenadas cartesianas. Determine: (a) o módulo, a direcção e o sentido do campo eléctrico (na forma vectorial, e depois determinar o módulo) no ponto A (4; 2) m ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o campo elétrico no ponto A (4; 2) metros, causado por três cargas pontuais: $ q_{1}=50,\mathrm{nC} $, $ q_{2}=-60,\mathrm{nC} $ e $ q_{3}=20,\mathrm{nC} $, localizadas em $ P_{1}(-2; 4) $ m, $ P_{2}(-3; 2) $ m e $ P_{3}(3; -3) $ m, respectivamente. A gente vai usar a teoria de campos elétricos de cargas pontuais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual $ q $ em um ponto no espaço é dado pela fórmula:
Onde:
- $ k = 8,99 \times 10^{9}, \mathrm{N \cdot m{2}/C{2}} $ é a constante de Coulomb.
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo.
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto A.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a distância entre cada carga e o ponto A (4; 2).
Para uma carga no ponto $ (x_i, y_i) $ e o ponto A $ (4, 2) $, a distância $ r $ é:
Vamos fazer isso para cada carga:
- Para $ q_1 (-2; 4) $:
- Para $ q_2 (-3; 2) $:
- Para $ q_3 (3; -3) $:
Passo 4
Agora, vamos determinar a direção de cada vetor campo elétrico. Lembrando que o campo elétrico aponta na direção que uma carga de teste positiva se moveria:
- Para $ q_1 = 50,\mathrm{nC} $ (positiva), o campo sai da carga em direção a A.
- Para $ q_2 = -60,\mathrm{nC} $ (negativa), o campo aponta em direção à carga vindo de A.
- Para $ q_3 = 20,\mathrm{nC} $ (positiva), o campo sai da carga em direção a A.
Vamos calcular os componentes $ E_x $ e $ E_y $ de cada campo.
Passo 5
Vamos calcular o campo elétrico de cada carga no ponto A usando a fórmula:
Primeiro, encontramos $ \hat{r} $, que é o vetor unitário na direção de $ r $. Isso é feito dividindo as componentes $ \Delta x $ e $ \Delta y $ pela distância $ r $:
Vamos calcular para cada carga:
-
Para $ q_1 = 50,\mathrm{nC} $:
- $ \Delta x = 4 - (-2) = 6 $
- $ \Delta y = 2 - 4 = -2 $
- $ \hat{r}_1 = \left( \frac{6}{6,324}, \frac{-2}{6,324} \right) \approx (0,949, -0,316) $
- $ E_1 = 8,99 \times 10^{9} \cdot \frac{50 \times 10^{-9}}{40} \approx 11,24 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
- Component $ E_{1x} = 11,24 \times 10^{3} \cdot 0,949 \approx 10,65 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
- Component $ E_{1y} = 11,24 \times 10^{3} \cdot (-0,316) \approx -3,56 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
-
Para $ q_2 = -60,\mathrm{nC} $:
- $ \Delta x = 4 - (-3) = 7 $
- $ \Delta y = 2 - 2 = 0 $
- $ \hat{r}_2 = \left( \frac{7}{7}, \frac{0}{7} \right) = (1, 0) $
- $ E_2 = 8,99 \times 10^{9} \cdot \frac{-60 \times 10^{-9}}{49} \approx -11,03 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
- Component $ E_{2x} = -11,03 \times 10^{3} \cdot 1 = -11,03 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
- Component $ E_{2y} = -11,03 \times 10^{3} \cdot 0 = 0, \mathrm{N/C} $
-
Para $ q_3 = 20,\mathrm{nC} $:
- $ \Delta x = 4 - 3 = 1 $
- $ \Delta y = 2 - (-3) = 5 $
- $ \hat{r}_3 = \left( \frac{1}{5,099}, \frac{5}{5,099} \right) \approx (0,196, 0,980) $
- $ E_3 = 8,99 \times 10^{9} \cdot \frac{20 \times 10^{-9}}{26} \approx 6,92 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
- Component $ E_{3x} = 6,92 \times 10^{3} \cdot 0,196 \approx 1,36 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
- Component $ E_{3y} = 6,92 \times 10^{3} \cdot 0,980 \approx 6,78 \times 10^{3}, \mathrm{N/C} $
Passo 6
Agora, vamos somar os componentes dos campos elétricos de cada carga para obter o campo elétrico total no ponto A.
Passo 7
Com os componentes do campo total, podemos escrever o campo elétrico vetorial no ponto A:
Para encontrar o módulo do campo elétrico total, usamos a fórmula:
Resposta
O campo elétrico no ponto A (4; 2) m é:
E o módulo do campo elétrico é: