Très cargas pontuais
e
estão localizadas nos pontos
( -2 ; 4)
de um sistema de coordenadas cartesianas. Determine: © o trabalho necessário para deslocar uma carga
do infinito ao vértice
: (a)
; (b)
; © 293 mJ.
Passo 1
Vamos resolver o problema de calcular o trabalho necessário para deslocar uma carga $ q = -10 , \mu\mathrm{C} $ do infinito até o ponto $ A(4 ; 2) , \mathrm{m} $ em um sistema onde existem três cargas pontuais $ q_{1}=50 , \mathrm{nC} $, $ q_{2}=-60 , \mathrm{nC} $ e $ q_{3}=20 , \mathrm{nC} $ localizadas nos pontos $ P_{1}(-2 ; 4) , \mathrm{m} $, $ P_{2}(-3 ; 2) , \mathrm{m} $ e $ P_{3}(3 ; -3) , \mathrm{m} $ respectivamente. Vamos precisar utilizar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico da matéria de Eletrostática.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o trabalho $ W $ realizado para mover uma carga de um ponto a outro em um campo elétrico é dado pela diferença de potencial elétrico $ V $ entre esses pontos multiplicada pela carga $ q $:
Como estamos movendo a carga do infinito até o ponto $ A $, o potencial no infinito $ V_{\infty} $ é zero. Portanto, o trabalho realizado será:
Onde $ V_A $ é o potencial no ponto $ A $ devido às cargas $ q_1 $, $ q_2 $ e $ q_3 $.
Passo 3
Para encontrar $ V_A $, devemos calcular o potencial elétrico gerado por cada carga no ponto $ A $ e somá-los, pois os potenciais se somam vetorialmente:
Onde:
$ k $ é a constante eletrostática ($ k = 8,99 \times 10^9 , \mathrm{N·m²/C²} $), $ q_i $ é a carga, e $ r_i $ é a distância entre a carga $ q_i $ e o ponto $ A $.
Passo 4
Vamos calcular a distância $ r_i $ de cada carga ao ponto $ A $ usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Para $ q_1 $ em $ P_1(-2 ; 4) $:
Para $ q_2 $ em $ P_2(-3 ; 2) $:
Para $ q_3 $ em $ P_3(3 ; -3) $:
Passo 5
Agora, calculamos o potencial de cada carga no ponto $ A $:
Passo 6
Somamos os potenciais individuais para encontrar o potencial total no ponto $ A $:
Passo 7
Finalmente, calculamos o trabalho necessário para mover a carga $ q = -10 , \mu\mathrm{C} $ até o ponto $ A $:
Como o trabalho negativo indica que o campo está fazendo o trabalho para levar a carga, podemos considerar o valor absoluto:
Resposta
O trabalho necessário para deslocar a carga é de aproximadamente $ 292 , \mathrm{mJ} $.