Três cargas puntiformes estão dispostas em linha reta. A carga q3=+5,0 nC está na origem. A carga q2=-3,0 nC está em x=+4,00 cm. A carga q1 está em x=+2,00 cm . Determine q1 (módulo e sinal), quando a força resultante sobre q3 for igual a zero.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três cargas puntiformes alinhadas em uma reta:
  • q3 = +5,0,nC está na origem.
  • q2 = -3,0,nC está em x = +4,00,cm.
  • q1 está em x = +2,00,cm.
Queremos determinar o valor de q1 (seu módulo e sinal) de forma que a força resultante sobre q3 seja igual a zero. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos permite calcular a força entre duas cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que diz que a força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada por:
F = ke cdot |q1 cdot q2|r^2
onde:
  • F é a força entre as cargas,
  • ke é a constante de Coulomb ( 8,99 times 10^9,N,m^2/C^2),
  • q1 e q2 são as magnitudes das cargas,
  • r é a distância entre as cargas.
Além disso, a direção da força depende dos sinais das cargas:
  • Se as cargas tiverem sinais opostos, a força será de atração.
  • Se tiverem o mesmo sinal, a força será de repulsão.

Passo 3

Vamos identificar as forças atuando sobre q3:
  1. Força F<sub>32</sub>: força causada por q2 em q3.
  2. Força F<sub>31</sub>: força causada por q1 em q3.
Nosso objetivo é que a soma dessas duas forças seja zero:
F32 + F31 = 0

Passo 4

Vamos calcular cada força separadamente.
Distâncias:
  • A distância entre q3 e q2 é de 4,00 cm.
  • A distância entre q3 e q1 é de 2,00 cm.
Convertendo para metros:
  • r32 = 0,04,m
  • r31 = 0,02,m
Calculando F<sub>32</sub>:
F32 = ke cdot |q3 cdot q2|r32^2 = 8,99 times 10^9 cdot |5,0 times 10^-9 cdot (-3,0 times 10^-9)|(0,04)^2
Calculando F<sub>31</sub>:
F31 = ke cdot |q3 cdot q1|r31^2 = 8,99 times 10^9 cdot |5,0 times 10^-9 cdot q1|(0,02)^2

Passo 5

Vamos simplificar os cálculos:
Para F<sub>32</sub>:
F32 = 8,99 times 10^9 cdot 15,0 times 10^-180,0016 = 8,99 times 10^9 cdot 9,375 times 10^-15 = 8,436 times 10^-5,N
Como q2 é negativa e q3 é positiva, a força F<sub>32</sub> é de atração, ou seja, direcionada para a esquerda.
Para F<sub>31</sub>:
F31 = 8,99 times 10^9 cdot 5,0 times 10^-9 cdot |q1|0,0004 = 8,99 times 10^9 cdot 5,0 times 10^-9 cdot |q1|4 times 10^-4 = 8,99 times 10^9 cdot 1,25 times 10^-5 cdot |q1|
F31 = 1,12375 times 10^5 cdot |q1|,N
A direção da força F<sub>31</sub> depende do sinal de q1:
  • Se q1 for positiva, a força será de repulsão (para a direita).
  • Se q1 for negativa, a força será de atração (para a esquerda).

Passo 6

Para que a força resultante sobre q3 seja zero, as forças F<sub>32</sub> e F<sub>31</sub> devem ter a mesma magnitude e direções opostas.
Como F<sub>32</sub> está para a esquerda, F<sub>31</sub> deve estar para a direita. Isso acontece se q1 for positiva (repulsão).
Então, igualamos as magnitudes das forças:
F32 = F31
8,436 times 10^-5 = 1,12375 times 10^5 cdot q1

Passo 7

Agora, resolvemos para q1:
q1 = 8,436 times 10^-51,12375 times 10^5 = 7,5 times 10^-10,C
Convertendo para nanocoulombs (1 C = 10^9 nC):
q1 = 7,5 times 10^-10 times 10^9 = 750,nC

Resposta

A carga q1 deve ser +750 nC para que a força resultante sobre q3 seja igual a zero.

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