Três cargas puntiformes, +q/4, -Q/5 e -2Q estão posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero. Não há nenhum outro objeto carregado nas proximidades. (a) Quais são a direção e o sentido da força resultante na carga q devida às outras duas cargas?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três cargas puntiformes: , e posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero. Queremos descobrir a direção e o sentido da força resultante que atua sobre a carga devido às outras duas cargas.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre duas cargas elétricas. Precisamos identificar as forças exercidas por cada uma das outras cargas sobre a carga e então somá-las vetorialmente para encontrar a força resultante.
Passo 2
Vamos começar identificando as forças individuais. A Lei de Coulomb é dada por:
onde:
é a força entre as cargas,
é a constante eletrostática (),
e são as magnitudes das cargas,
é a distância entre as cargas.
Como o triângulo é equilátero, todas as distâncias entre as cargas são iguais. Vamos chamar essa distância de .
Passo 3
Primeiro, calculamos a força entre e .
As cargas têm sinais opostos, então a força será de atração. A magnitude dessa força é:
A direção dessa força é ao longo da linha que une as duas cargas, apontando da carga em direção à carga .
Passo 4
Agora, calculamos a força entre F2 = ke |q4 cdot (-2Q)|r^2 = ke 2qQ4r^2 = ke qQ2 r^2 e .
Novamente, as cargas têm sinais opostos, então a força será de atração. A magnitude dessa força é:
A direção dessa força é ao longo da linha que une as duas cargas, apontando da carga em direção à carga .
Passo 5
Agora, precisamos somar essas duas forças vetorialmente. Como as três cargas formam um triângulo equilátero, o ângulo entre as direções das forças F1x = F1 cos(30^circ) e F1y = F1 sin(30^circ) é de 60 graus.
Para somar as forças, usamos a regra do paralelogramo ou a decomposição em componentes. Vamos decompor as forças em direções horizontal e vertical.
F2x = F2 cos(30^circ)
F2y = -F2 sin(30^circ)
Note que é negativo porque está na direção oposta à de .
Passo 6
Substituindo os valores de F1x = ke qQ20 r^2 cdot raiz32 = raiz3 ke qQ40 r^2 e F1y = ke qQ20 r^2 cdot 12 = ke qQ40 r^2 :
F2x = ke qQ2 r^2 cdot raiz32 = raiz3 ke qQ4 r^2
F2y = -ke qQ2 r^2 cdot 12 = -ke qQ4 r^2
Passo 7
Agora, somamos as componentes:
Ftotalx = F1x + F2x = raiz3 ke qQ40 r^2 + raiz3 ke qQ4 r^2 = raiz3 ke qQ40 r^2 (1 + 10) = 11 raiz3 ke qQ40 r^2
Ftotaly = F1y + F2y = ke qQ40 r^2 - ke qQ4 r^2 = ke qQ40 r^2 (1 - 10) = -9 ke qQ40 r^2
Passo 8
Para encontrar a magnitude da força resultante, usamos o teorema de Pitágoras:
Para encontrar a direção, calculamos o ângulo tan(theta) = FtotalyFtotalx = -9 ke qQ40 r^211 raiz3 ke qQ40 r^2 = -911 raiz3 = -919.0526 approx -0.473 em relação ao eixo x:
theta = arctan(-0.473) approx -25^circ
Isso significa que a força resultante está 25 graus abaixo do eixo x.
Resposta
A força resultante sobre a carga tem magnitude e está dirigida a 25 graus abaixo da direção horizontal (eixo x), ou seja, na direção de 25° abaixo do eixo x.