Três corpos de densidade uniforme - uma esfera sólida, um cilindro sólido e um cilindro oco - são colocados no topo de uma ladeira. Todos são liberados do repouso na mesma elevação e rolam sem deslizar. (a) Qual corpo chega à base primeiro? (b) Qual chega por último? Observação: O resultado é independente das massas e raios dos corpos. (Tente esta atividade em casa!)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três objetos rolando numa ladeira: uma esfera sólida, um cilindro sólido e um cilindro oco. Todos começam do mesmo ponto e descem sem deslizar. O que precisamos descobrir aqui é qual desses chega primeiro e qual chega por último na base da ladeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de rotação e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Basicamente, é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para o objeto começar a girar. Para os nossos corpos, os momentos de inércia são:
  • Esfera sólida:
  • Cilindro sólido:
  • Cilindro oco:
Aqui, é a massa e o raio do objeto.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação do movimento para objetos rolando sem deslizar. A aceleração a = g sin theta1 + Im r^2 do centro de massa do objeto é dada por:
a = g sin theta1 + 25 = g sin theta75 = 57g sin theta
Onde:
  • a = g sin theta1 + 12 = g sin theta32 = 23g sin theta é a aceleração da gravidade.
  • a = g sin theta1 + 1 = g sin theta2 = 12g sin theta é o ângulo da ladeira.
  • é o momento de inércia.
Substituindo os momentos de inércia de cada objeto:
  • Esfera sólida:
  • Cilindro sólido:
  • Cilindro oco:

Passo 4

Analisando as acelerações:
  • Esfera sólida:
  • Cilindro sólido:
  • Cilindro oco:
Quanto maior a aceleração, mais rápido o objeto desce a ladeira. Então:
  1. Esfera sólida tem a maior aceleração.
  2. Cilindro sólido vem em seguida.
  3. Cilindro oco tem a menor aceleração.

Resposta

(a) A esfera sólida chega à base primeiro.
(b) O cilindro oco chega por último.

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