Três corpos de densidade uniforme - uma esfera sólida, um cilindro sólido e um cilindro oco - são colocados no topo de uma ladeira. Todos são liberados do repouso na mesma elevação e rolam sem deslizar. (a) Qual corpo chega à base primeiro? (b) Qual chega por último? Observação: O resultado é independente das massas e raios dos corpos. (Tente esta atividade em casa!)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três objetos rolando numa ladeira: uma esfera sólida, um cilindro sólido e um cilindro oco. Todos começam do mesmo ponto e descem sem deslizar. O que precisamos descobrir aqui é qual desses chega primeiro e qual chega por último na base da ladeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de rotação e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Basicamente, é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para o objeto começar a girar. Para os nossos corpos, os momentos de inércia são:
- Esfera sólida:
- Cilindro sólido:
- Cilindro oco:
Aqui,
é a massa e
o raio do objeto.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação do movimento para objetos rolando sem deslizar. A aceleração
do centro de massa do objeto é dada por:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade. -
é o ângulo da ladeira. -
é o momento de inércia.
Substituindo os momentos de inércia de cada objeto:
- Esfera sólida:
- Cilindro sólido:
- Cilindro oco:
Passo 4
Analisando as acelerações:
- Esfera sólida:
- Cilindro sólido:
- Cilindro oco:
Quanto maior a aceleração, mais rápido o objeto desce a ladeira. Então:
- Esfera sólida tem a maior aceleração.
- Cilindro sólido vem em seguida.
- Cilindro oco tem a menor aceleração.
Resposta
(a) A esfera sólida chega à base primeiro.
(b) O cilindro oco chega por último.