A figura mostra uma esfera
que, partindo do repouso, desliza (sem rolar) ao longo de uma rampa de altura
e a seguir, ao longo de um plano horizontal, ambos sem atrito. Num dado ponto do plano horizontal, a esfera
se choca com uma esfera
de mesma massa, presa ao teto por um fio ideal. Sendo esse choque parcialmente elástico com coeficiente de restituição
, determine: a) a velocidade com que a esfera
desliza no plano horizontal antes do choque; b) as velocidades de
e de
imediatamente após o choque; c) a altura máxima
atingida pela esfera
após o choque com
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de física envolvendo colisão de esferas e conservação de energia. A esfera A está descendo por uma rampa sem atrito e depois se movendo em um plano horizontal também sem atrito. Ela bate na esfera B, que está presa por um fio. Precisamos calcular a velocidade da esfera A antes da colisão, as velocidades das duas esferas após a colisão e a altura máxima que a esfera B vai alcançar depois da colisão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia, conservação de quantidade de movimento e o coeficiente de restituição para colisões.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da esfera A no plano horizontal antes da colisão. Como não há atrito, a energia potencial que a esfera tem no topo da rampa será totalmente convertida em energia cinética na base da rampa.
A energia potencial (Ep) é dada por:
E a energia cinética (Ec) é:
Igualando as duas, porque a energia potencial é convertida em cinética:
Podemos simplificar cancelando a massa (m) de ambos os lados:
Resolvendo para v:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular as velocidades das esferas A e B imediatamente após a colisão. A colisão é parcialmente elástica, com coeficiente de restituição
. Primeiro, lembrando que a quantidade de movimento é conservada.
A quantidade de movimento antes da colisão é apenas da esfera A, já que B está parada:
Depois da colisão:
Como a massa é a mesma para as duas esferas, podemos simplificar:
Além disso, o coeficiente de restituição
é dado por:
Resolvendo esse sistema de equações, chegamos às seguintes fórmulas para as velocidades após a colisão:
Substituindo
e
:
Passo 4
Por fim, vamos determinar a altura máxima
que a esfera B atinge após a colisão. Quando a esfera B sobe, sua energia cinética será convertida em energia potencial.
A energia cinética inicial de B após a colisão é:
A energia potencial no ponto mais alto é:
Igualando as duas:
Cancelando a massa:
Resolvendo para
:
Substituindo
e
:
Resposta
a) A velocidade da esfera A no plano horizontal antes do choque é aproximadamente
.
b) Imediatamente após o choque, a velocidade de A é e a de B é
.
c) A altura máxima atingida pela esfera B após o choque é aproximadamente .
b) Imediatamente após o choque, a velocidade de A é
c) A altura máxima atingida pela esfera B após o choque é aproximadamente
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