Três impedâncias de valor 12+j 9 Omega e tensão equilibrada de 208 V (tensão de linha), podem ser conectadas em delta e em estrela. Para cada caso (ligação delta e ligação Y). Calcular:
A potência ativa (PT), reativa (QT) e aparente (ST) da ligação.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos três impedâncias iguais, cada uma com valor de 12 + j9 , Omega, e uma tensão de linha de 208 V. Precisamos calcular a potência ativa ( PT), reativa ( QT) e aparente ( ST) para duas maneiras de conectar essas impedâncias: em delta e em estrela (Y).
Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as conexões delta e estrela, como calcular as correntes e as potências em cada caso, e usar umas fórmulas básicas de potência em circuitos AC. Vamos passo a passo!

Passo 2

Conexão em Estrela (Y):
Primeiro, vamos considerar a ligação em estrela. Na conexão em estrela, cada impedância está conectada de forma que uma ponta está ligada a um ponto comum (neutro) e as outras pontas estão ligadas às linhas de tensão.
Aqui, a tensão de linha ( VL) é 208 V. Na conexão em estrela, a tensão de fase ( VF) é menor que a tensão de linha e está relacionada por:
VF = VLraiz3
Vamos calcular VF:
VF = 208raiz3 approx 120 , V

Passo 3

Agora, vamos calcular a corrente de fase ( IF) utilizando a impedância de cada fase ( ZF). A fórmula é:
IF = VFZF
Sabemos que ZF = 12 + j9 , Omega. Primeiro, vamos calcular a magnitude de ZF:
|ZF| = raiz12^2 + 9^2 = raiz144 + 81 = raiz225 = 15 , Omega
Agora, a corrente de fase é:
IF = 12015 = 8 , A

Passo 4

Em uma conexão estrela, a corrente de linha ( IL) é igual à corrente de fase ( IF):
IL = IF = 8 , A
Agora, vamos calcular a potência aparente ( S) por fase, que é dada por:
S = VF times IF = 120 times 8 = 960 , VA
Mas como temos três fases, a potência total é:
ST = 3 times 960 = 2880 , VA

Passo 5

Para encontrar a potência ativa ( P) e a potência reativa ( Q), precisamos do fator de potência ( cos phi) e do sin phi, onde phi é o ângulo da impedância.
Primeiro, calculamos o ângulo phi:
phi = tan^-1(ImagináriaReal) = tan^-1(912) = 36,87^circ á
Então:
cos phi = cos(36,87^circ) approx 0,8
sin phi = sin(36,87^circ) approx 0,6
Agora, a potência ativa por fase:
P = VF times IF times cos phi = 120 times 8 times 0,8 = 768 , W
E a potência reativa por fase:
Q = VF times IF times sin phi = 120 times 8 times 0,6 = 576 , VAR
Multiplicando por três fases:
PT = 3 times 768 = 2304 , W
QT = 3 times 576 = 1728 , VAR

Passo 6

Conexão em Delta:
Agora, vamos analisar a conexão em delta. Na ligação delta, as impedâncias estão conectadas em forma de triângulo, e cada impedância está entre duas linhas de tensão.
Primeiro, na conexão delta, a relação entre a tensão de linha ( VL) e a tensão de fase ( VF) é:
VF = VL
Portanto, VF = 208 , V.

Passo 7

Vamos calcular a corrente de fase ( IF) na conexão delta usando a impedância de cada fase ( ZF = 12 + j9 , Omega):
IF = VFZF
Primeiro, a magnitude de ZF:
|ZF| = 15 , Omega
Então:
IF = 20815 approx 13,87 , A

Passo 8

Na conexão delta, a corrente de linha ( IL) está relacionada com a corrente de fase ( IF) pela relação:
IL = raiz3 times IF
Então:
IL = raiz3 times 13,87 approx 24 , A
Agora, vamos calcular a potência aparente por fase:
S = VF times IF = 208 times 13,87 approx 2880 , VA
Como são três fases:
ST = 3 times 2880 = 8640 , VA

Passo 9

Agora, para calcular a potência ativa ( P) e reativa ( Q) na conexão delta, usamos o mesmo fator de potência calculado anteriormente ( cos phi = 0,8 e sin phi = 0,6).
Potência ativa por fase:
P = VF times IF times cos phi = 208 times 13,87 times 0,8 approx 2304 , W
Potência reativa por fase:
Q = VF times IF times sin phi = 208 times 13,87 times 0,6 approx 1728 , VAR
Multiplicando por três fases:
PT = 3 times 2304 = 6912 , W
QT = 3 times 1728 = 5184 , VAR

Resposta

  • Ligação em Estrela (Y):
    • Potência Ativa ( PT): 2304 W
    • Potência Reativa ( QT): 1728 VAR
    • Potência Aparente ( ST): 2880 VA
  • Ligação em Delta:
    • Potência Ativa ( PT): 6912 W
    • Potência Reativa ( QT): 5184 VAR
    • Potência Aparente ( ST): 8640 VA

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