Os três vetores
e
apontam da origem
para os três vértices de um triângulo. Mostre que a área do triângulo é dada por
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três vetores,
,
e
, que saem da origem
e vão até os três vértices de um triângulo. A tarefa é mostrar que a área desse triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a área de um triângulo usando vetores e a operação de produto vetorial (ou cruzamento) entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo definido por dois vetores pode ser encontrada usando o produto vetorial. Se tivermos dois vetores
e
que representam os lados do triângulo que partem do mesmo ponto, a área do triângulo é:
Isso porque o módulo do produto vetorial
nos dá a área do paralelogramo formado por
e
, e o triângulo é exatamente a metade desse paralelogramo.
Passo 3
No nosso caso, porém, temos três vetores
,
e
que apontam para os vértices do triângulo a partir da origem. Para usar a fórmula do produto vetorial, precisamos relacionar esses vetores de forma que representem dois lados do triângulo.
Vamos considerar que os vetores que formam os lados do triângulo são as diferenças entre esses vetores. Por exemplo, o vetor que vai de
para
é
, e o vetor que vai de
para
é
.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da área do triângulo com esses vetores, temos:
Vamos expandir esse produto vetorial para simplificar a expressão.
Passo 5
Expandindo o produto vetorial, temos:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja,
. Assim, a expressão se simplifica para:
Passo 6
Agora, reorganizamos os termos para facilitar a visualização:
Note que
e
, usando a propriedade que trocar a ordem dos vetores no produto vetorial inverte o sinal.
Passo 7
Então, substituindo de volta na fórmula da área, temos:
Isso mostra que a área do triângulo é dada pela expressão que queríamos demonstrar.
Resposta
A área do triângulo é dada por
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