Considere o problema do lançamento de um projétil considerando (a) ausência de resistência e (b) num meio resistente com força de resistência proporcional à velocidade do projétil .
Resolva os problemas (a) e (b) (tempo de voo, alcance e trajetória).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um projétil. Temos duas situações para analisar:
(a) Sem resistência do ar: Aqui, o projétil é lançado e só a gravidade age sobre ele.
(b) Com resistência do ar: Agora, além da gravidade, a força de resistência é proporcional à velocidade do projétil, dada por .
Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, além de resolver algumas equações diferenciais para a parte com resistência do ar. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Sem resistência do ar

1. Definindo as variáveis

Vamos considerar:
  • : velocidade inicial do projétil
  • : ângulo de lançamento
  • : aceleração da gravidade ( ²)

2. Tempo de voo

O tempo que o projétil permanece no ar depende somente do movimento vertical.
A velocidade inicial na vertical é .
O tempo de subida até a altura máxima é .
Como a subida e a descida levam o mesmo tempo, o tempo total de voo é:

3. Alcance

O alcance é a distância horizontal que o projétil percorre.
A velocidade inicial na horizontal é .
Então, o alcance é:

4. Trajetória

A trajetória pode ser descrita pela equação:
Isso mostra que a trajetória é uma parábola.

Passo 3

Parte (b): Com resistência do ar

Agora, vamos considerar a resistência do ar proporcional à velocidade: , onde é uma constante.

1. Equações de movimento

As forças atuando no projétil são:
  • Peso:
  • Resistência do ar:
Então, as equações de movimento ficam:

2. Resolvendo para

A equação para é:
Essa é uma equação diferencial linear cuja solução é:

3. Resolvendo para

A equação para é:
Essa também é uma equação diferencial linear. A solução é:

4. Encontrando as posições e

Integrando as velocidades:
Para :
Para :

5. Tempo de voo

O tempo de voo ocorre quando .
Resolvido numericamente, pois a equação envolve termos exponenciais e lineares em , geralmente não há uma solução analítica simples.

6. Alcance

O alcance é , onde é o tempo de voo encontrado acima. Também geralmente calculado numericamente.

7. Trajetória

A trajetória é dada por . Substituir de em resulta em uma expressão complexa, normalmente resolvida numericamente ou apresentada parametricamente.

Resposta

(a) Sem resist��ncia do ar:
  • Tempo de voo:
  • Alcance:
  • Trajetória:
(b) Com resistência do ar proporcional à velocidade:
  • Velocidades:
  • Posições:
  • Tempo de voo, alcance e trajetória: Obtidos numericamente a partir das equações acima.

Exercícios relacionados

Os três vetores e apontam da origem para os três vértices de um triângulo. Mostre que a área do triângulo é dada por
áâ
Considere o problema do lançamento de um projétil considerando (a) ausência de resistência e (b) num meio resistente com força de resistência proporcional à velocidade do projétil .
Escreva as equações de movimento para os problemas (a) e (b),
Uma caixa de massa é arrastada sobre um piso horizontal através de uma corda fazendo um ângulo de com a horizontal. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre a caixa e o piso são, respectivamente, 0,70 e 0,50. (A) Estando a caixa inicialmente em repouso, qual 6 a força mínima necessária para iniciar o movimento? (B) Quando a força atinge esse valor mínimo, com que aceleráçäo se inicia o movimento da caixa?
Um bloco sobe um plano com ângulo de inclinação em relação ao eixo horizontal com velocidade inicial de módulo .
(a) Obtenha as equações de movimento
(b) Determine a distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado.
© Obtenha o tempo necessário para que o bloco retorne para a posição inicial.