Considere o problema do lançamento de um projétil considerando (a) ausência de resistência e (b) num meio resistente com força de resistência proporcional à velocidade do projétil (FR=-m k v).
Resolva os problemas (a) e (b) (tempo de voo, alcance e trajetória).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um projétil. Temos duas situações para analisar:
(a) Sem resistência do ar: Aqui, o projétil é lançado e só a gravidade age sobre ele.
(b) Com resistência do ar: Agora, além da gravidade, a força de resistência é proporcional à velocidade do projétil, dada por .
Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, além de resolver algumas equações diferenciais para a parte com resistência do ar. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Sem resistência do ar

1. Definindo as variáveis

Vamos considerar:
  • T = 2 times tsubida = 2 v0 sin(theta)g : velocidade inicial do projétil
  • R = v0x times T = v0 cos(theta) times 2 v0 sin(theta)g = v0^2 sin(2theta)g : ângulo de lançamento
  • y(x) = x tan(theta) - g x^22 v0^2 cos^2(theta) : aceleração da gravidade ( ²)

2. Tempo de voo

O tempo que o projétil permanece no ar depende somente do movimento vertical.
A velocidade inicial na vertical é .
O tempo de subida até a altura máxima é .
Como a subida e a descida levam o mesmo tempo, o tempo total de voo é:

3. Alcance

O alcance é a distância horizontal que o projétil percorre.
A velocidade inicial na horizontal é .
Então, o alcance é:

4. Trajetória

A trajetória pode ser descrita pela equação:
Isso mostra que a trajetória é uma parábola.

Passo 3

Parte (b): Com resistência do ar

Agora, vamos considerar a resistência do ar proporcional à velocidade: m dvxdt = -m k vx , onde m dvydt = -m k vy - m g é uma constante.

1. Equações de movimento

As forças atuando no projétil são:
  • Peso: dvxdt = -k vx
  • Resistência do ar: vx(t) = v0x e^-k t = v0 cos(theta) e^-k t
Então, as equações de movimento ficam:
dvydt = -k vy - g
vy(t) = (v0y + gk) e^-k t - gk

2. Resolvendo para vy(t) = (v0 sin(theta) + gk) e^-k t - gk

A equação para x(t) = integral vx(t) dt = v0 cos(theta)k (1 - e^-k t) é:
y(t) = integral vy(t) dt
Essa é uma equação diferencial linear cuja solução é:
y(t) = (v0 sin(theta) + gk) 1 - e^-k tk - gk t

3. Resolvendo para

A equação para é:
Essa também é uma equação diferencial linear. A solução é:

4. Encontrando as posições e

Integrando as velocidades:
Para :
Para :

5. Tempo de voo

O tempo de voo ocorre quando .
Resolvido numericamente, pois a equação envolve termos exponenciais e lineares em , geralmente não há uma solução analítica simples.

6. Alcance

O alcance é , onde é o tempo de voo encontrado acima. Também geralmente calculado numericamente.

7. Trajetória

A trajetória é dada por . Substituir de em resulta em uma expressão complexa, normalmente resolvida numericamente ou apresentada parametricamente.

Resposta

(a) Sem resist��ncia do ar:
  • Tempo de voo: vx(t) = v0 cos(theta) e^-k t
  • Alcance: vy(t) = (v0 sin(theta) + gk) e^-k t - gk
  • Trajetória: x(t) = v0 cos(theta)k (1 - e^-k t)
(b) Com resistência do ar proporcional à velocidade:
  • Velocidades:
    y(t) = (v0 sin(theta) + gk) 1 - e^-k tk - gk t
  • Posições:
  • Tempo de voo, alcance e trajetória: Obtidos numericamente a partir das equações acima.

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