Considere o problema do lançamento de um projétil considerando (a) ausência de resistência e (b) num meio resistente com força de resistência proporcional à velocidade do projétil
.
Resolva os problemas (a) e (b) (tempo de voo, alcance e trajetória).
Resolva os problemas (a) e (b) (tempo de voo, alcance e trajetória).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um projétil. Temos duas situações para analisar:
(a) Sem resistência do ar: Aqui, o projétil é lançado e só a gravidade age sobre ele.
(b) Com resistência do ar: Agora, além da gravidade, a força de resistência é proporcional à velocidade do projétil, dada por
.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, além de resolver algumas equações diferenciais para a parte com resistência do ar. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Sem resistência do ar
1. Definindo as variáveis
Vamos considerar:
-
: velocidade inicial do projétil -
: ângulo de lançamento -
: aceleração da gravidade ( )
2. Tempo de voo
O tempo que o projétil permanece no ar depende somente do movimento vertical.
A velocidade inicial na vertical é
.
O tempo de subida até a altura máxima é
.
Como a subida e a descida levam o mesmo tempo, o tempo total de voo é:
3. Alcance
O alcance é a distância horizontal que o projétil percorre.
A velocidade inicial na horizontal é
.
Então, o alcance
é:
4. Trajetória
A trajetória pode ser descrita pela equação:
Isso mostra que a trajetória é uma parábola.
Passo 3
Parte (b): Com resistência do ar
Agora, vamos considerar a resistência do ar proporcional à velocidade:
, onde
é uma constante.
1. Equações de movimento
As forças atuando no projétil são:
- Peso:
- Resistência do ar:
Então, as equações de movimento ficam:
2. Resolvendo para
A equação para
é:
Essa é uma equação diferencial linear cuja solução é:
3. Resolvendo para
A equação para
é:
Essa também é uma equação diferencial linear. A solução é:
4. Encontrando as posições
e
Integrando as velocidades:
Para
:
Para
:
5. Tempo de voo
O tempo de voo ocorre quando
.
Resolvido numericamente, pois a equação envolve termos exponenciais e lineares em
, geralmente não há uma solução analítica simples.
6. Alcance
O alcance é
, onde
é o tempo de voo encontrado acima. Também geralmente calculado numericamente.
7. Trajetória
A trajetória é dada por
. Substituir
de
em
resulta em uma expressão complexa, normalmente resolvida numericamente ou apresentada parametricamente.
Resposta
(a) Sem resist��ncia do ar:
-
Tempo de voo:
-
Alcance:
-
Trajetória:
(b) Com resistência do ar proporcional à velocidade:
-
Velocidades:
-
Posições:
-
Tempo de voo, alcance e trajetória: Obtidos numericamente a partir das equações acima.
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e
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Considere o problema do lançamento de um projétil considerando (a) ausência de resistência e (b) num meio resistente com força de resistência proporcional à velocidade do projétil
.
Escreva as equações de movimento para os problemas (a) e (b),
Escreva as equações de movimento para os problemas (a) e (b),
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.
(a) Obtenha as equações de movimento
(b) Determine a distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado.
© Obtenha o tempo necessário para que o bloco retorne para a posição inicial.
(a) Obtenha as equações de movimento
(b) Determine a distância máxima que o bloco atinge ao longo do plano inclinado.
© Obtenha o tempo necessário para que o bloco retorne para a posição inicial.