Três vetores, A, B e C, são dados por
A=3 i-2 j+2 k B=6 i+4 j-2 k C=-3 i-2 j-4 k
Calcule os valores de A cdot B times C e A times(B times C), C times(A times B) e B times(C times A)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três vetores:
A = 3 i - 2 j + 2 k, B = 6 i + 4 j - 2 k, C = -3 i - 2 j - 4 k
E pede para calcularmos:
  1. O produto escalar de A com o produto vetorial de B e C, ou seja, A cdot (B times C).
  2. O produto vetorial de A com o produto vetorial de B e C: A times (B times C).
  3. E também C times (A times B) e B times (C times A).
Vamos precisar entender como funcionam os produtos vetorial e escalar entre vetores para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial B times C. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
B times C = i & j & k Bx & By & Bz Cx & Cy & Cz
Aplicando os valores de B e C:
B times C = i & j & k 6 & 4 & -2 -3 & -2 & -4
Calculando o determinante:
B times C = i(4 cdot (-4) - (-2) cdot (-2)) - j(6 cdot (-4) - (-2) cdot (-3)) + k(6 cdot (-2) - 4 cdot (-3))
Simplificando:
B times C = i(-16 - 4) - j(-24 -6) + k(-12 +12) B times C = -20i +30j +0k B times C = -20i +30j

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar A cdot (B times C). O produto escalar entre dois vetores resulta em um número, e é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando:
A cdot (B times C) = Ax (B times C)x + Ay (B times C)y + Az (B times C)z
Substituindo os valores:
A cdot (B times C) = 3 cdot (-20) + (-2) cdot 30 + 2 cdot 0 = -60 -60 +0 = -120

Passo 4

Vamos agora calcular A times (B times C). Para isso, usamos a identidade de Lagrange, que diz:
A times (B times C) = B (A cdot C) - C (A cdot B)
Primeiro, vamos calcular A cdot C e A cdot B.
Para A cdot C:
A cdot C = 3 cdot (-3) + (-2) cdot (-2) + 2 cdot (-4) = -9 +4 -8 = -13
Para A cdot B:
A cdot B = 3 cdot 6 + (-2) cdot 4 + 2 cdot (-2) = 18 -8 -4 = 6
Agora aplicamos na identidade:
A times (B times C) = B (-13) - C (6) = -13B -6C = -13(6i +4j -2k) -6(-3i -2j -4k)
Distribuindo:
= -78i -52j +26k +18i +12j +24k = (-78 +18)i + (-52 +12)j + (26 +24)k = -60i -40j +50k

Passo 5

Vamos calcular C times (A times B). Novamente, usando a identidade de Lagrange:
C times (A times B) = A (C cdot B) - B (C cdot A)
Primeiro, já sabemos C cdot A = -13 (calculado antes).
Agora, calculamos C cdot B:
C cdot B = (-3) cdot 6 + (-2) cdot 4 + (-4) cdot (-2) = -18 -8 +8 = -18
Aplicando na identidade:
C times (A times B) = A (-18) - B (-13) = -18A +13B = -18(3i -2j +2k) +13(6i +4j -2k)
Distribuindo:
= -54i +36j -36k +78i +52j -26k = (-54 +78)i + (36 +52)j + (-36 -26)k = 24i +88j -62k

Passo 6

Por último, vamos calcular B times (C times A). Usando novamente a identidade de Lagrange:
B times (C times A) = C (B cdot A) - A (B cdot C)
Sabemos que B cdot A = 6 e B cdot C = -18 (calculados antes).
Aplicando na identidade:
B times (C times A) = C (6) - A (-18) =6C +18A =6(-3i -2j -4k) +18(3i -2j +2k)
Distribuindo:
= -18i -12j -24k +54i -36j +36k = (-18 +54)i + (-12 -36)j + (-24 +36)k = 36i -48j +12k

Resposta

Os valores calculados são:
  1. A cdot (B times C) = -120
  2. A times (B times C) = -60i -40j +50k
  3. C times (A times B) = 24i +88j -62k
  4. B times (C times A) = 36i -48j +12k

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