Começando com C=A+B, mostre que C times C=0 leva a A times B=-B times A.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos que C = A + B e queremos mostrar que C times C = 0 nos leva a concluir que A times B = -B times A. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial, como a distributividade e a anti-comutatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de C com ele mesmo:
C times C = (A + B) times (A + B)

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade distributiva do produto vetorial, que nos permite expandir a expressão:
C times C = A times A + A times B + B times A + B times B

Passo 4

Sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é sempre zero, ou seja, A times A = 0 e B times B = 0. Então, simplificamos a expressão:
C times C = 0 + A times B + B times A + 0 = A times B + B times A

Passo 5

Segundo o enunciado, C times C = 0. Portanto, temos:
0 = A times B + B times A

Passo 6

Finalmente, isolamos A times B na equação:
A times B = -B times A

Resposta

Portanto, mostramos que A times B = -B times A.

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