Prove a lei dos co-senos partindo de A^2=(B-C)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para provarmos a lei dos cossenos começando a partir da equação vetorial A^2 = (B - C)^2. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e trigonometria para chegar na prova.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação vetorial significa. Aqui, A, B e C representam vetores que formam os lados de um triângulo. A equação A^2 = (B - C)^2 está relacionando os comprimentos desses vetores.

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação usando a propriedade do produto escalar. Lembrando que para quaisquer vetores X e Y, temos:
(X - Y)^2 = X^2 + Y^2 - 2,X cdot Y

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa equação original:
A^2 = B^2 + C^2 - 2,B cdot C
Aqui, B cdot C representa o produto escalar entre os vetores B e C.

Passo 5

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso em termos do ângulo theta entre eles:
B cdot C = |B|,|C|,cos(theta)
Onde |B| e |C| são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.

Passo 6

Substituindo essa expressão na equação que obtivemos:
A^2 = B^2 + C^2 - 2,|B|,|C|,cos(theta)

Passo 7

Agora, reconhecemos que A^2 é o quadrado da magnitude do vetor A, ou seja, |A|^2. Assim, podemos reescrever a equação como:
|A|^2 = |B|^2 + |C|^2 - 2,|B|,|C|,cos(theta)

Resposta

Prontinho! A partir da equação vetorial inicial, chegamos à lei dos cossenos:
a^2 = b^2 + c^2 - 2,b,c,cos(theta)
Onde a, b, e c são os comprimentos dos lados do triângulo e theta é o ângulo entre os lados b e c.

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