Prove a lei dos co-senos partindo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para provarmos a lei dos cossenos começando a partir da equação vetorial
. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e trigonometria para chegar na prova.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação vetorial significa. Aqui,
,
e
representam vetores que formam os lados de um triângulo. A equação
está relacionando os comprimentos desses vetores.
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação usando a propriedade do produto escalar. Lembrando que para quaisquer vetores
e
, temos:
Passo 4
Aplicando essa propriedade à nossa equação original:
Aqui,
representa o produto escalar entre os vetores
e
.
Passo 5
Sabemos que o produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso em termos do ângulo
entre eles:
Onde
e
são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
Passo 6
Substituindo essa expressão na equação que obtivemos:
Passo 7
Agora, reconhecemos que
é o quadrado da magnitude do vetor
, ou seja,
. Assim, podemos reescrever a equação como:
Resposta
Prontinho! A partir da equação vetorial inicial, chegamos à lei dos cossenos:
Onde
,
, e
são os comprimentos dos lados do triângulo e
é o ângulo entre os lados
e
.