Prove a lei dos co-senos partindo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para provarmos a lei dos cossenos começando a partir da equação vetorial . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e trigonometria para chegar na prova.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação vetorial significa. Aqui, , e representam vetores que formam os lados de um triângulo. A equação está relacionando os comprimentos desses vetores.

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação usando a propriedade do produto escalar. Lembrando que para quaisquer vetores e , temos:

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa equação original:
Aqui, representa o produto escalar entre os vetores e .

Passo 5

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso em termos do ângulo entre eles:
Onde e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.

Passo 6

Substituindo essa expressão na equação que obtivemos:

Passo 7

Agora, reconhecemos que é o quadrado da magnitude do vetor , ou seja, . Assim, podemos reescrever a equação como:

Resposta

Prontinho! A partir da equação vetorial inicial, chegamos à lei dos cossenos:
Onde , , e são os comprimentos dos lados do triângulo e é o ângulo entre os lados e .

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