Três vetores são dados por e . Encontre (a) e (b) .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial que envolve três vetores: , e . Precisamos encontrar dois resultados: (a) o produto escalar de com o produto vetorial de e , ou seja, , e (b) o produto vetorial de com a soma de e , ou seja, . Para isso, vamos usar as definições de produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. Para vectores e , o produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
b times c = i [(-4)(1) - (2)(2)] - j [(21)(1) - (2)(2)] + k [(21)(2) - (-4)(2)]
b times c = i (-4 - 4) - j (21 - 4) + k (42 + 8)
b times c = -8i - 17j + 50k
Agora, fazemos o produto escalar de a = (3, 3, -2) com o resultado acima:
a cdot (b times c) = (3)(-8) + (3)(-17) + (-2)(50)
a cdot (b times c) = -24 -51 -100 = -175
Passo 3
Parte (b): a times (b + c)
Primeiro, somamos os vetores b e c:
b + c = (21 + 2, -4 + 2, 2 + 1) = (23, -2, 3)
Agora, calculamos o produto vetorial de a = (3, 3, -2) com a soma obtida:
a times (b + c) = i & j & k 3 & 3 & -2 23 & -2 & 3
Calculando o determinante:
a times (b + c) = i [(3)(3) - (-2)(-2)] - j [(3)(3) - (-2)(23)] + k [(3)(-2) - (3)(23)]
a times (b + c) = i (9 - 4) - j (9 - (-46)) + k (-6 -69)