Três vetores são dados por a=(3,0) i+(3,0) j-(2,0) k, b=(21,0) i-(4,0) j+(2,0) k e c= (2,0) i+(2,0) j+(1,0) k. Encontre (a) a cdot(b times c) e (b) a times(b+c).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial que envolve três vetores: a, b e c. Precisamos encontrar dois resultados: (a) o produto escalar de a com o produto vetorial de b e c, ou seja, a cdot (b times c), e (b) o produto vetorial de a com a soma de b e c, ou seja, a times (b + c). Para isso, vamos usar as definições de produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Parte (a): a cdot (b times c)
Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial b times c. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. Para vectores b = (21, -4, 2) e c = (2, 2, 1), o produto vetorial é dado por:
b times c = i & j & k 21 & -4 & 2 2 & 2 & 1
Calculando o determinante:
b times c = i [(-4)(1) - (2)(2)] - j [(21)(1) - (2)(2)] + k [(21)(2) - (-4)(2)]
b times c = i (-4 - 4) - j (21 - 4) + k (42 + 8)
b times c = -8i - 17j + 50k
Agora, fazemos o produto escalar de a = (3, 3, -2) com o resultado acima:
a cdot (b times c) = (3)(-8) + (3)(-17) + (-2)(50)
a cdot (b times c) = -24 -51 -100 = -175

Passo 3

Parte (b): a times (b + c)
Primeiro, somamos os vetores b e c:
b + c = (21 + 2, -4 + 2, 2 + 1) = (23, -2, 3)
Agora, calculamos o produto vetorial de a = (3, 3, -2) com a soma obtida:
a times (b + c) = i & j & k 3 & 3 & -2 23 & -2 & 3
Calculando o determinante:
a times (b + c) = i [(3)(3) - (-2)(-2)] - j [(3)(3) - (-2)(23)] + k [(3)(-2) - (3)(23)]
a times (b + c) = i (9 - 4) - j (9 - (-46)) + k (-6 -69)
a times (b + c) = 5i - 55j -75k

Resposta

(a) a cdot (b times c) = -175
(b) a times (b + c) = 5,i - 55,j -75,k

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