Três vetores, a, b e c, têm o mesmo módulo, 50 m, e estão em um plano x y. Os ângulos dos vetores em relação ao semieixo x positivo são 30^circ, 195^circ, e 315^circ, respectivamente. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo do vetor a+b+c e © o módulo e (d) o ângulo de a-b+c. Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de um quarto vetor, d, tal que (a+b)-(c+d)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores, , e , cada um com módulo (tamanho) de 50 metros. Eles estão no plano e fazem ângulos de , e em relação ao eixo positivo. Nosso objetivo é calcular combinações desses vetores, como e , além de encontrar um quarto vetor que satisfaça uma certa condição. Para isso, vamos precisar usar conceitos de soma vetorial, decomposição em componentes e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor cada vetor nas suas componentes vx = V cdot cos(theta) e vy = V cdot sin(theta) . Isso significa usar funções trigonométricas para achar quanto cada vetor “puxa” na direção horizontal ( ) e vertical ( ).
A fórmula para decompor um vetor com módulo e ângulo é:
Vamos aplicar isso para , e .

Passo 3

Calculando as componentes de cada vetor:
Para ax = 50 cdot cos(30^circ) = 50 cdot raiz32 approx 43.30 , m com ay = 50 cdot sin(30^circ) = 50 cdot 12 = 25 , m :
bx = 50 cdot cos(195^circ) = 50 cdot cos(180^circ+15^circ) = 50 cdot (-cos(15^circ)) approx -48.30 , m
by = 50 cdot sin(195^circ) = 50 cdot sin(180^circ+15^circ) = 50 cdot (-sin(15^circ)) approx -12.93 , m
Para cx = 50 cdot cos(315^circ) = 50 cdot raiz22 approx 35.36 , m com cy = 50 cdot sin(315^circ) = 50 cdot (-raiz22) approx -35.36 , m :
Para com :

Passo 4

Agora que temos as componentes, vamos resolver cada parte do exercício.
a) Módulo de Rx = ax + bx + cx = 43.30 - 48.30 + 35.36 = 30.36 , m :
Primeiro, somamos as componentes Ry = ay + by + cy = 25 - 12.93 - 35.36 = -23.29 , m e |R| = raizRx^2 + Ry^2 = raiz30.36^2 + (-23.29)^2 approx raiz920.34 + 542.18 approx raiz1462.52 approx 38.25 , m de todos os vetores:
theta = arctan(RyRx) = arctan(-23.2930.36) approx arctan(-0.767) approx -37.37^circ
theta approx 322.63^circ
O módulo da resultante é:
b) Ângulo de :
Usamos a tangente inversa para achar o ângulo:
Como o ângulo está no quarto quadrante, adicionamos :

Passo 5

Continuando com as próximas partes:
c) Módulo de R'x = ax - bx + cx = 43.30 - (-48.30) + 35.36 = 43.30 + 48.30 + 35.36 = 126.96 , m :
Primeiro, subtraímos R'y = ay - by + cy = 25 - (-12.93) - 35.36 = 25 + 12.93 - 35.36 = 2.57 , m de |R'| = raiz126.96^2 + 2.57^2 approx raiz16124.50 + 6.60 approx raiz16131.10 approx 127.00 , m e depois adicionamos theta' = arctan(R'yR'x) = arctan(2.57126.96) approx arctan(0.0203) approx 1.16^circ :
O módulo:
d) Ângulo de :

Passo 6

Agora, para encontrar o vetor Sx = ax + bx = 43.30 - 48.30 = -5.00 , m que satisfaz Sy = ay + by = 25 - 12.93 = 12.07 , m , isso significa que dx = Sx - cx = -5.00 - 35.36 = -40.36 , m . Então, podemos reescrever como dy = Sy - cy = 12.07 - (-35.36) = 47.43 , m .
Primeiro, somamos |d| = raiz(-40.36)^2 + 47.43^2 approx raiz1628.81 + 2250.10 approx raiz3878.91 approx 62.28 , m e thetad = arctan(47.43-40.36) approx arctan(-1.175) approx -49.40^circ :
thetad approx 130.60^circ
Agora, subtraímos :
e) Módulo de :
f) Ângulo de :
Como é negativo e é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Então, adicionamos :

Resposta

(a) O módulo de é aproximadamente 38.25 m.
(b) O ângulo de é aproximadamente .
© O módulo de é aproximadamente 127.00 m.
(d) O ângulo de é aproximadamente .
(e) O módulo de é aproximadamente 62.28 m.
(f) O ângulo de é aproximadamente .

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