Três vetores,
e
, têm o mesmo módulo, 50 m, e estão em um plano
. Os ângulos dos vetores em relação ao semieixo
positivo são
, e
, respectivamente. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo do vetor
e © o módulo e (d) o ângulo de
. Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de um quarto vetor,
, tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores,
,
e
, cada um com módulo (tamanho) de 50 metros. Eles estão no plano
e fazem ângulos de
,
e
em relação ao eixo
positivo. Nosso objetivo é calcular combinações desses vetores, como
e
, além de encontrar um quarto vetor
que satisfaça uma certa condição. Para isso, vamos precisar usar conceitos de soma vetorial, decomposição em componentes e trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor cada vetor nas suas componentes
e
. Isso significa usar funções trigonométricas para achar quanto cada vetor “puxa” na direção horizontal (
) e vertical (
).
A fórmula para decompor um vetor
com módulo
e ângulo
é:
Vamos aplicar isso para
,
e
.
Passo 3
Calculando as componentes de cada vetor:
Para
com
:
Para
com
:
Para
com
:
Passo 4
Agora que temos as componentes, vamos resolver cada parte do exercício.
a) Módulo de
:
Primeiro, somamos as componentes
e
de todos os vetores:
O módulo da resultante é:
b) Ângulo de
:
Usamos a tangente inversa para achar o ângulo:
Como o ângulo está no quarto quadrante, adicionamos
:
Passo 5
Continuando com as próximas partes:
c) Módulo de
:
Primeiro, subtraímos
de
e depois adicionamos
:
O módulo:
d) Ângulo de
:
Passo 6
Agora, para encontrar o vetor
que satisfaz
, isso significa que
. Então, podemos reescrever como
.
Primeiro, somamos
e
:
Agora, subtraímos
:
e) Módulo de
:
f) Ângulo de
:
Como
é negativo e
é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Então, adicionamos
:
Resposta
(a) O módulo de
é aproximadamente 38.25 m.
(b) O ângulo de
é aproximadamente
.
© O módulo de
é aproximadamente 127.00 m.
(d) O ângulo de
é aproximadamente
.
(e) O módulo de
é aproximadamente 62.28 m.
(f) O ângulo de
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
(a) Determine a soma
, na notação dos vetores unitários, para
e
. Determine (b) o módulo e © a orientação de
.
Considere a figura abaixo. (a) Calcule a velocidade média no intervalo
.
<br>
FORMULÅRIO
<br>
FORMULÅRIO
Um carro pereorre uma estrada retilinea com velocidade constante de
.
Determine a distancia percorrida pelo carro em 2 horas.
Determine a distancia percorrida pelo carro em 2 horas.
Um móvel tem função horária da posição dada por:
em metros
em segundos).
a) Calcule sua velocidade.
a) Calcule sua velocidade.