Três vetores, e , têm o mesmo módulo, 50 m, e estão em um plano . Os ângulos dos vetores em relação ao semieixo positivo são , e , respectivamente. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo do vetor e © o módulo e (d) o ângulo de . Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de um quarto vetor, , tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores, , e , cada um com módulo (tamanho) de 50 metros. Eles estão no plano e fazem ângulos de , e em relação ao eixo positivo. Nosso objetivo é calcular combinações desses vetores, como e , além de encontrar um quarto vetor que satisfaça uma certa condição. Para isso, vamos precisar usar conceitos de soma vetorial, decomposição em componentes e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor cada vetor nas suas componentes e . Isso significa usar funções trigonométricas para achar quanto cada vetor “puxa” na direção horizontal ( ) e vertical ( ).
A fórmula para decompor um vetor com módulo e ângulo é:
Vamos aplicar isso para , e .

Passo 3

Calculando as componentes de cada vetor:
Para com :
Para com :
Para com :

Passo 4

Agora que temos as componentes, vamos resolver cada parte do exercício.
a) Módulo de :
Primeiro, somamos as componentes e de todos os vetores:
O módulo da resultante é:
b) Ângulo de :
Usamos a tangente inversa para achar o ângulo:
Como o ângulo está no quarto quadrante, adicionamos :

Passo 5

Continuando com as próximas partes:
c) Módulo de :
Primeiro, subtraímos de e depois adicionamos :
O módulo:
d) Ângulo de :

Passo 6

Agora, para encontrar o vetor que satisfaz , isso significa que . Então, podemos reescrever como .
Primeiro, somamos e :
Agora, subtraímos :
e) Módulo de :
f) Ângulo de :
Como é negativo e é positivo, o vetor está no segundo quadrante. Então, adicionamos :

Resposta

(a) O módulo de é aproximadamente 38.25 m.
(b) O ângulo de é aproximadamente .
© O módulo de é aproximadamente 127.00 m.
(d) O ângulo de é aproximadamente .
(e) O módulo de é aproximadamente 62.28 m.
(f) O ângulo de é aproximadamente .

Exercícios relacionados

(a) Determine a soma , na notação dos vetores unitários, para e . Determine (b) o módulo e © a orientação de .
Considere a figura abaixo. (a) Calcule a velocidade média no intervalo .
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FORMULÅRIO
Um carro pereorre uma estrada retilinea com velocidade constante de .
Determine a distancia percorrida pelo carro em 2 horas.
Um móvel tem função horária da posição dada por: em metros em segundos).
a) Calcule sua velocidade.